Beilage V.

Schwingungsform der Klaviersaiten.
Zu Seite 128 bis 136.

l. Wenn eine gespannte Saite mit einem ganz harten, schmalen Metallstifte angeschlagen wird, der augenblicklich wieder zurückspringt, so überträgt der Stoß eine gewisse Geschwindigkeit auf die getroffene Stelle der Saite, während die ganze übrige Saite noch in Ruhe ist. Setzen wir für den Zeitmoment des Stoßes t = 0, so können wir die Bewegung der Saite durch die Bedingung bestimmen, daß im Augenblicke des Anschlages die Saite sich noch in ihrer Gleichgewichtslage befindet, und nur der getroffene Punkt eine gewisse Geschwindigkeit hat. Man setze also in den Gleichungen (l c) und (l d) Beilage III für t = 0 auch y = 0 und = 0, letzteres mit Ausnahme des geschlagenen Punktes, dessen x-Koordinate a sei. Daraus folgt

0 = A1 = A2 = A3 etc. und die Werte der B werden durch eine ähnliche Integration gefunden wie in (2b):

,

wo c das Produkt ans der Geschwindigkeit des gestoßenen Teils der Saite und seiner verschwindend kleinen Länge bezeichnet. Also wird:

..............................................................(10) Der mte Oberton der Saite fällt also auch hier fort, so oft in einem Knotenpunkte dieses Tones angeschlagen wird. Übrigens fallen die Obertöne verhältnismäßig noch stärker gegen den Grundton aus als beim Reißen der Saite, da der Wert von Am in Gleichung (3) mit m2, der Wert von B aber in Gleichung (10) nur mit m dividiert ist. Das zeigt sich übrigens auch beim Versuche sogleich, wenn man die Saiten mit der scharfen Kante eines metallenen Stäbchens schlägt.

2. Etwas anders werden die Verhältnisse, wenn die Diskontinuität der Bewegung der Saite dadurch vermindert wird, daß die Hämmer mit elastischen Polstern überzogen sind, wie dies beim Pianoforte der Fall ist. Dadurch werden die höheren Obertöne merklich geschwächt, weil die Bewegung nun nicht mehr einem einzelnen Punkte, sondern einem breiteren Stück der Saite mitgeteilt wird, und auch diesem nicht in einem unteilbaren Augenblicke, wie es beim Stoße mit einem harten Körper sein würde. Vielmehr gibt das elastische Polster dem ersten Stoße nach, und dehnt sich dann wieder, so daß während der Zeit, wo der Hammer der Saite anliegt, sich die Bewegung schon über eine längere Strecke derselben ausdehnen kann. Eine genaue Analyse der Bewegung der Saite nach dem Anschlage eines Klavierhammers würde ziemlich verwickelt sein. Wenn wir aber beachten, daß die Saiten dabei verhältnismäßig wenig von der Stelle rücken, während das weiche elastische Polster der Hämmer sehr nachgiebig ist, und bedeutend zusammengepreßt werden kann, so können wir uns für die mathematische Theorie die Vereinfachung erlauben, den Druck des Hammers, welchen er gegen die Saite während des Stoßes ausübt, so groß zu setzen, als er sein würde, wenn der Hammer gegen einen ganz festen und vollkommen unnachgiebigen Körper schlüge. Demnach setzen wir den Druck des Hammers gleich

F = K sin r t für diejenigen Werte der Zeit, wo 0 < t. Die letztere Größe ist die Länge der Zeit, während welcher der Hammer der Saite anliegt. Nachher springt er wieder ab, und läßt die Saite frei schwingen. Die Größe r muß desto größer sein, je größer die elastische Kraft des Hammers und je geringer sein Gewicht ist.

Wir müssen nun zunächst die Bewegung der Saite bestimmen während dieses Zeitabschnittes, wo der Hammer ihr anliegt, von t = 0 bis t.

Die Saite wird während dieser Zeit von dem anliegenden Hammer in zwei Teile geteilt, deren Bewegung einzeln bestimmt werden muß. Der Wert von x für die Anschlagsstelle mag x0 heißen1). Die Werte von y für diejenigen Teile der Saite, in denen x < x0, bezeichnen wir mit y1 und wo x > x0, mit y1. Im geschlagenen Punkte selbst muß der Druck der Saite gegen den Hammer gleich dem Drucke F sein, den dieser ausübt. Der Druck der Saite ist wie in der Gleichung (6a) Beilage IV zu berechnen, und wir erhalten daher die Gleichung:

......................................(11) 1) [x0 ist dieselbe Größe wie a auf Seite 604. Hier dagegen bedeutet a, wie auf Seite 606, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle; a a. f. S. bedeutet jede beliebige ganze Zahl.]
 
 

Von der geschlagenen Stelle gehen nach beiden Saiten Wellen aus. Es wird also y1 die Form haben müssen

für Werte von t, für welche 0 < t und x0 > x > x0 a t, und für dieselben Werte von t und Werte von x, für die x0 < x < x0 + a t. Wenn wir mit j' den Differentialquotienten der Funktion j bezeichnen, folgt aus Gleichung (11) .....................................................(11a) Dies nach t integriert gibt und daraus folgt, indem wir die Konstante so bestimmen, daß für x = x0 ±at y1 und beziehlich y1 gleich Null werden: ,

Damit ist die Bewegung der Saite bestimmt für die Zeit, wo 0 < tund für den Fall, daß die beiden vorschreitenden Wellen nicht gegen eines der Enden der Saite gestoßen sind. Wäre letzteres der Fall gewesen, so würden sie dort reflektiert worden sein.

Wenn t größer als geworden ist, wird F gleich Null, und es folgt dann aus Gleichung (11 a), daß von da ab

j ' (at) = 0also j= Const. für t. Es bleibt also sowohl y1 wie y1 für diejenigen Teile der Saite, über welche die Welle schon fortgeschritten ist, gleich , bis Teile der Wellen, welche von den Enden reflektiert sind, an die betreffenden Punkte der Saite gelangen.

Um den Einfluß der Enden der Saite in passender Weise in Rechnung zu ziehen, denke man sich die Saite unendlich lang, und in allen Punkten, welche um Multipla von 2l vom Anschlagspunkte x0 abstehen, einen ebensolchen Anschlag gleichzeitig mit dem von x0 stattfindend, so daß von allen diesen Punkten ebensolche Wellen wie von x0 auslaufen. Ferner denke man sich in denjenigen Punkten, in welchen x = - x0 ± 2 a l, gleichzeitig mit dem Anschlag von x0 einen gleichen Anschlag, aber in entgegengesetzter Richtung, erfolgend, so daß von diesen letzteren Punkten Wellen gleicher Form, aber von negativer Höhe, wie von x0, auslaufen. Dann werden in den Endpunkten der Saite stets gleiche aber entgegengesetzte Werte der positiven und negativen Wellen zusammentreffen, diese Endpunkte also vollkommen in Ruhe bleiben, und für das wirklich existierende Stück der unendlich gedachten Saite zwischen ihren beiden Enden werden alle Bedingungen erfüllt sein, welche zu erfüllen sind.

Von dem Augenblick an, wo der Hammer die Saite verläßt, kann die Bewegung der Saite betrachtet werden als ein Ablaufen der beiden vorwärts (d. h. in Richtung der positiven x) und rückwärts (d. h. in Richtung der negativen x) fortschreitenden Wellensysteme. Von diesen Wellensystemen haben wir aber zunächst nur einzelne abgerissene Stücke gefunden, nämlich die, welche den zunächst den Anschlagspunkten gelegenen Stücken der Saite entsprechen; wir müssen die Wellen noch passend ergänzen, um ein zusammenhängendes vorwärtsschreitendes, und ein ebensolches rückwärts-schreitendes System zu erhalten.

Wenn man in Richtung der positiven x auf der Saite fortschreitet, so ist der Wert von y = 0, ehe man an eine positive rückwärtsschreitende Welle stößt; dann steigt er auf , welchen Wert er in den positiven Anschlagspunkten hat. Geht man über den Anschlagspunkt hinaus und über die von dort ans vorwärtsschreitende Welle, so findet man wieder Werte von y, die gleich Null sind, und welche bis auf  sinken, sobald man die erste negative rückwärtsschreitende Welle überschreitet. Den genannten Wert hat y im ersten negativen Anschlagspunkte. Um nun die positiven und negativen rückwärtsschreitenden Wellen mit einander zu verbinden, muß man sich zwischen jedem positiven und dem nächst folgenden negativen Anschlagspunkte die Größe + zu den Werten von y1 hinzuaddiert denken, so daß die Wellenhöhe diesen Wert, den sie in x0 schon hat, behält bis zu der Stelle hin, wo die entsprechende negative Welle beginnt. Hier wird also die Wellenhöhe - y1 und sinkt bis Null. Ebenso denke man sich zwischen den negativen Anschlagspunkten und jedem nächst darauf folgenden positiven Anschlagspunkte  zur Wellenhöhe der vorwärtsschreitenden Wellen addiert. Dann sind die rückwärtsschreitenden Wellen überall positiv, die vorwärtsschreitenden überall negativ, und die Wellen sind gleichzeitig so beschaffen, daß sie bei ihrer Fortbewegung diejenige Art der Bewegung erzeugen, welche wir für die Saite gefunden haben, nachdem der Hammer sie verlassen hat.

Wir haben jetzt die Form dieser Wellensysteme als eine Summe einfacher Wellen auszudrücken. Die Wellenlänge ist 2l, weil eich die gleichartigen Anschlagspunkte in Abständen von 2l wiederholen. Nehmen wir die positiven rückwärtsschreitenden Wellen zur Zeit t, so ist:

1) von x = 0 bis x = x0,

y1 = 0;

2) von x = x0 - bis x = x0,

;

3) von x = x0 bis 2l x0 -,

;

4) von x = 2l x0 bis x = 2l x0,

;

5) von x = 2l x0 bis x = 2l.

y1 = 0.
 
 

Setzen wir demnach .

+......(12)

so ist ,

.

Wenn man c macht, so werden alle B = 0, weil y für + x und - x gleiche Werte hat, und man die Grenzen der Integration beliebig wählen kann, wenn sie nur um 21 von einander entfernt sind. Dagegen wird .............(12a) Diese Gleichung gibt die Amplituden Am der einzelnen Partialtöne des Klanges der geschlagenen Saite. Wenn der Anschlagspunkt ein Knotenpunkt des mten Tones ist, so wird der Faktor = 0 und es fallen also die Töne ans, in deren einem Knotenpunkt der Anschlag erfolgt ist. Nach dieser Gleichung ist die auf Seite 135 gegebene Tabelle berechnet. Will man die Bewegung der Saite vollständig bestimmen, so ist in der Gleichung (2) für y1 noch zu setzen x + at für x. Der entsprechende Ausdruck für y1 wird dann und schließlich

womit die Aufgabe gelöst ist.

Wenn man r unendlich groß werden läßt, d. h. den Hammer vollkommen hart, so geht der Ausdruck für Am der Gleichung (12 a) über in den von Bm in Gleichung (10).

Wenn r nicht unendlich ist, so nehmen bei steigender Größe von m die Koeffizienten Am ab wie , bei unendlichem r wie ; bei der gerissenen Saite nahmen sie ab wie . Es entspricht dies den Theoremen, welche Stokes2) über den Einfluß der Diskontinuität einer Funktion, die nach einer Fourier'schen Reihe entwickelt wird, auf die Größe der Glieder mit hoher Stellenzahl erwiesen hat. Wenn y die Funktion ist, welche entwickelt werden soll in eine Reihe

y = A0 + A1 sin (mx + c1) + A2 sin (2m x + c2) etc. so ist nämlich der Koeffizient Am für sehr große Werte von m: 1) von der Ordnung , wenn y selbst einen plötzlichen Sprang macht;

2) von der Ordnung , wenn der Differentialquotient  einen Sprung

macht; 3) von der Ordnung , wenn erst , diskontinuierlich ist;
4) höchstens von der Ordnung e - m, Differentialquotienten der Funktion und diese selbst kontinuierlich sind.
2) Cambridge Transactions VIII, 533 bis 584
 
 

Daraus folgt denn für die musikalischen Klänge das im Texte mehrfach erwähnte Gesetz, daß sie im Allgemeinen desto stärkere hohe Obertöne haben, je diskontinuierlicher die entsprechende Bewegung des tönenden Körpers ist.