Beilage XIV.

Schwankung der Tonhöhe bei den Schwebungen einfacher Töne.

Zu Seite 274.

Es sei die Geschwindigkeit v eines unter dem Einflusse zweier Töne schwingenden Teilchens

v = A sin (m t) + B sin (nt + c), worin m sehr wenig von n unterschieden sei und A > B. Wir können dann setzen n t + c = m t - [(m - n) t - c]

v = {A +B cos [(mn) t - c]} sin (mt) - B sin [(m - n) t - c] cos (n t).

Setzen wir A + B cos [(m n) t - c] = C cos e B sin [(m - n) t - c] = C sin e , so ist v = C sin (mt - e), worin C und e langsam sich ändernde Funktionen der Zeit t sind, wenn wie vorausgesetzt ist, m - n eine im Vergleich mit m kleine Größe ist.

Die Intensität C dieser Oszillation ist

C2 = A2 + 2 AB cos [(m n) t c] + B 2 Sie wird ein Maximum C2 = (A + B)2 wenn cos [(m n) t - c] = + l, dagegen ein Minimum C 2 = (A - B)2, wenn cos [(m n) t - c] = - l. Die veränderliche Phase e der Bewegung wird gegeben durch folgende Gleichung: Wenn A > B, wird diese Tangente niemals unendlich groß, und e bleibt

deshalb jedenfalls zwischen den Grenzen +  und -  eingeschlossen, denen es sich abwechselnd nähert. So lange der Wert von e steigt, wächst mt-e langsamer als mt, so lange jener Wert fällt, wächst dieses schneller, dort wird also der Ton tiefer, hier höher werden müssen.

Die mit 2pmultiplizierte Schwingungszahl des veränderlichen Tones ist unter diesen Umständen gleich

. Die Grenzwerte hiervon treten ein, wo cos [(m - n) t - c] seine Grenzwerte, +l und -l, erreicht, und also auch die Tonstärke ein Maximum oder Minimum ist. l) Wenn die Tonstärke in Maximo, ist die Schwingungszahl , 2) wenn die Tonstärke in Minimo, ist die Schwingungszahl Im ersteren Falle liegt also die Tonhöhe des veränderlichen Tones zwischen denen der beiden einzelnen Töne. Während des Minimums der Tonstärke dagegen ist sie höher als beide Einzeltöne, wenn der stärkere Ton gleichzeitig der höhere ist, dagegen tiefer als beide, wenn der stärkere Ton der tiefere ist.

Mit zwei gedackten Pfeifen hört man diese Unterschiede gut. Auch mit zwei Stimmgabeln, wenn man abwechselnd die höhere oder tiefere der Resonanzröhre näher bringt.