Beilage VII.

Zur Theorie der Pfeifen.
A. Einfluß der Resonanz in den Zungenpfeifen.

Zu Seite 166.

Für zylindrische Röhren habe ich die Gesetze der Resonanz in meiner "Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden"1) mathematisch entwickelt. Auf die Zungenpfeifen ist namentlich das dort in §.7 behandelte Beispiel anwendbar, wo die Bewegung im Grunde der Röhre als gegeben vorausgesetzt wird. Es sei Vdt das Luftvolumen, welches im Zeitteilchen dt in die Zungenpfeife einströmt, so kann die Größe, da sie periodisch ist, dargestellt werden durch eine Fourier'sche Reihe:                                 V = C0 + C1 cos (2pnt + T1) + C2 cos (4pnt + T2) + etc.. . (l) 1) Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. LVII; Wiss. Abh. Bd. I, S. 308 bis 382.

Die Resonanz ist für die einzelnen Glieder getrennt zu bestimmen, da die den einzelnen Obertönen entsprechenden Schwingungsbewegungen sich ungestört einander superponieren. Wenn wir nun unter l die Länge der Röhre, unter Q ihren Querschnitt, unter l + a die reduzierte Länge der Röhre (die Differenz a ist bei zylindrischen Röhren gleich dem Radius, multipliziert mit , unter k die Größe (l die Wellenlänge) verstehen, und wenn wir das Potential der Wellen im freien Raume für den Ton von der Schwingungszahl an gleich

setzen, wo r die Entfernung vom Mittelpunkt der Mündung bezeichnet, so ergeben die in der erwähnten Arbeit entwickelten Gleichungen (15) und (12b), daß Da die Grosse k2 Q immer als sehr klein vorausgesetzt werden muß, wenn unsere Theorie anwendbar sein soll, so wird diese Gleichung für solche Fälle, wo l + a nicht ein ungerades Multiplum einer Viertelwellenlänge ist, nahehin . Die Resonanz ist also am schwächsten, wenn die reduzierte Länge der Röhre ein gerades Vielfaches einer Viertelwellenlänge ist, und wird desto stärker, je mehr sie sich einem ungeraden Vielfachen derselben Länge nähert. Wenn sie dieses erreicht, ergibt die vollständige Formel Das Maximum der Resonanz ist also desto größer, je größer die Wellenlänge des betreffenden Tones und je kleiner der Querschnitt ist. Je kleiner der Querschnitt ist, desto enger ist auch die Tonhöhe abgegrenzt, welche starke Resonanz zeigt, während bei größerem Querschnitt die starke Resonanz sich auf einen breiteren Teil der Skala erstreckt.

Für anders geformte Hohlkörper mit engen Mündungen lassen sich ähnliche Gleichungen mittels der in §. 10 derselben Abhandlung aufgestellten Sätze gewinnen.

Da die Bedingung starker Resonanz ist, daß cos ak (l + a) = 0 sei, so werden gleichzeitig mit dem Grundtone in zylindrischen Röhren (Klarinette) nur die ungeraden Obertöne verstärkt werden.

Im Innern von kegelförmigen Röhren können wir das Potential der Luftbewegung für den Ton n setzen gleich

, wo r die Entfernung von der Spitze des Kegels bezeichnet. Ist eine Zunge in der Entfernung a von der Spitze angebracht, und die Länge der Röhre l, also für das offene Ende r = l + a, so können wir als Grenzbedingung für das freie Ende als wenigstens annähernd richtig festsetzen, daß dort der Druck gleich Null sein müsse; dies ist der Fall, wenn , also sin [k (l + a) + c] = 0 und wir können setzen: c = - k ( l + a )

Die stärkste Resonanz findet nun hier, wie bei den zylindrischen Röhren, für diejenigen Töne statt, welche an der Stelle der Zunge das Minimum der Geschwindigkeit haben. Da nämlich bei der Entwickelung der Geschwindigkeit im Mundstück in Gleichung (l) die Koeffizienten Ca einen bestimmten Wert haben, der nur von der Bewegung der Zunge und den davon veranlaßten Luftstößen abhängt, so muß der Koeffizient A der letzten Gleichung desto größer werden, eine je kleinere Geschwindigkeit der entsprechende Wellenzug im Mundstücke des Rohres hervorbringt. Um so größer wird dann die Geschwindigkeit in den anderen Teilen des Rohres. Die Geschwindigkeit der Luftteilchen ist aber: Für das Maximum der Resonanz ist also Bedingung, daß für r = a kr = tang k (r l a) oder

ka == tang (kl).

Wenn nun die Größe a, d. h. die Entfernung der Zunge von der Spitze des Kegels, sehr klein ist, so ist ka, also auch tang kl, sehr klein, und es muß (k l ap) sehr klein sein, wenn a eine gewisse ganze Zahl bedeutet. Dann können wir die Tangente nach Potenzen ihres Bogens entwickeln und erhalten, indem wir uns auf das erste Glied dieser Entwickelung beschränken: k a = a p - kl

k (a + l) = a p

oder indem wir k =  setzen: . woraus sich ergibt, daß kegelförmige Röhren alle diejenigen Töne verstärken, für welche die ganze Länge des Kegels, bis zu seiner imaginären Spitze gerechnet, ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist; vorausgesetzt, daß die Entfernung der Zunge von dieser imaginären Spitze des Kegels gegen die Wellenlänge verschwindet. Wenn also der Grundton des Klanges durch das Rohr verstärkt wird, werden auch alle seine Obertöne, gerade und ungerade, verstärkt werden bis zu einer Höhe hin, wo die Wellenlängen der Obertöne nicht mehr sehr groß gegen die Entfernung a sind.

Unter übrigens gleichen Umständen wird die Anzahl und Größe der Glieder der Reihe 1, welche die erregende Luftbewegung darstellt, desto größer sein, je vollständiger der eintretende Luftstrom unterbrochen wird. Durchschlagende Zungen müssen deshalb ihrem Rahmen sehr eng anschließen, um einen kräftigen Ton zu geben. Aufschlagende Zungen dagegen, welche vollständigeren Verschluß zu Stande bringen, sind in dieser Beziehung überlegen. Nach den von Herrn A. E1lis2) eingezogenen Informationen haben in der Tat die Orgelbauer sich neuerdings wieder mehr der Anwendung aufschlagender Zungen zugeneigt. Die Zungen werden aber ganz schwach gekrümmt, so daß sie nicht mit einem Male gegen den Rahmen schlagen, sondern sich allmählich an diesem abrollen.

2) In der englischen Übersetzung dieses Werks. App. XIX, H. 7, S. 711.
 
 

B. Theorie des Anblasens der Pfeifen.

Wenn in der Luftmasse einer Röhre erst einmal longitudinale Wellen erregt sind, so können diese viele Male zwischen beiden Enden hin und her reflektiert werden und periodisch wiederkehrende stehende Schwingungen bilden, ehe sie erlöschen. Am geschlossenen Ende einer gedackten Pfeife wird die Reflexion jedes Wellenzuges eine ziemlich vollständige sein müssen, an den offenen Enden jedoch geht immer ein merklicher Bruchteil der Welle in das Freie hinaus, und die zurückgeworfene Welle ist deshalb nicht ganz so intensiv, wie die ankommende gewesen ist; vielmehr nimmt die Intensität der in der Röhre hin- und hergeworfenen Wellen kontinuierlich ab und sie erlöschen endlich, wenn nicht durch irgend eine anderweitige Einwirkung ihnen bei jedem Hin- und Hergange die verlorene Arbeit ersetzt wird. Was zu ersetzen ist, ist aber der Kegel nach nur ein kleiner Teil der ganzen lebendigen Kraft der Wellenbewegung, nur so viel, als bei der Reflexion an den offenen Enden verloren geht. Der verloren gehende Bruchteil der Amplitude am offenen Ende einer zylindrischen Röhre vom. innern Radius R bei einem Tone von der Wellenlänge l beträgt nach der Theorie

, wenn R klein ist im Vergleich zu l. Bei den von Zamminer untersuchten Röhren wechselte die Wellenlänge l zwischen 84 R und 15,6 R. Im ersteren Falle wäre der Verlust 1/200, im letzteren etwa 1/8 der Amplitude.

Dieser Verlust an lebendiger Kraft kann nun in verschiedener Weise ersetzt werden. Wenn in einen mit Luft unter dem Drucke p gefüllten Raum noch das kleine Volumen dV, welches unter dem Drucke p0 stand, hinübergedrängt wird, so ist die dazu nötige Arbeit gleich (p p0) d V. Wenn also während der Schallschwingungen an Orten und zu Zeiten, wo die Luft verdichtet ist, entweder regelmäßig eine kleine Menge Luft hineingedrängt wird, oder durch Erhitzung der Druck der zusammengedrängten Luft gesteigert wird, so erzeugt diese Luftmasse bei ihrer Ausdehnung einen größeren Betrag lebendiger Kraft, als durch ihren Widerstand gegen die Verdichtung bei deren Zustandekommen verloren gegangen ist. Die erstere der beiden Ursachen wirkt in den Zungenpfeifen, letztere in den Röhren der Gasharmonika, wo mit der in das Rohr zurückströmenden Luft auch eine vergrößerte Gasmenge aus dem Gasrohr einströmt, und diese dann verbrennend den Druck während der Zeit der Wiederausdehnung steigert.

Die Bedingungen, welche erfüllt sein müssen, damit Zungenpfeifen ansprechen, habe ich in den Verhandlungen des naturhistorisch-medizinischen Vereins zu Heidelberg (26. Juli 1861) gegeben3), und ich erlaube mir die kurze Auseinandersetzung mit einigen Verbesserungen hier wieder abdrucken zu lassen.

3) Wiss. Abh. Bd. I, S. 388 bis 394.
I. Das Anblasen der Zungenpfeifen.

Unter Zungenpfeifen verstehe ich alle solche Blasinstrumente, in denen dem Luftstrom der Weg durch einen schwingenden elastischen Körper bald geöffnet, bald verschlossen wird. Die erste Arbeit, welche die Mechanik der Zungenpfeifen zugänglich machte, war die von W. Weber. Er experimentierte aber hauptsächlich mit metallenen Zungen, die wegen ihrer großen Masse und Elastizität nur dann von der Luft kräftig bewegt werden, wenn sich der von der Pfeife angegebene Ton nicht zu sehr von dem Eigenton der freien Zunge unterscheidet. Daher sind die Pfeifen mit metallenen Zungen in der Kegel nur fähig einen einzigen Ton anzugeben, nämlich nur denjenigen unter den theoretisch möglichen Tönen, welcher dem eigenen Ton der Zunge am nächsten liegt.

Anders verhält es sich mit Zungen von leichtem, wenig Widerstand leistendem Material, wie es die Rohrzungen der Klarinette, Oboe, des Fagotts, die menschlichen Lippen in den Trompeten, Posaunen, Hörnern sind. Sehr geeignet für die Versuche sind auch membranöse Zungen aus vulkanisiertem Kautschuk, ähnlich den Stimmbändern des Kehlkopfs gestellt; nur muß man sie, damit sie leicht und gut ansprechen, schräg gegen den Luftstrom stellen,

Die Wirkung der Zungen ist wesentlich verschieden, je nachdem die von ihnen geschlossene Öffnung sich öffnet, wenn sich die Zunge dem Winde entgegen nach der Windlade zu bewegt, oder wenn sie sich mit ihm gegen das Ansatzrohr bewegt. Die ersteren nenne ich einschlagende Zungen, die letzteren ausschlagende. Die Zungen der Klarinette, Oboe, des Fagotts, der Zungenwerke der Orgel sind alle einschlagende Zungen. Die menschlichen Lippen in den Blechinstrumenten repräsentieren dagegen ausschlagende Zungen. Die von mir gebrauchten Kautschukzungen kann man einschlagend und ausschlagend stellen.

Die Gesetze für die Tonhöhe der Zungenpfeifen ergeben sich vollständig, wenn man die Bewegung der Zunge unter dem Einflusse des periodisch wechselnden Luftdrucks im Ansatzrohr und Windrohr bestimmt, und berücksichtigt, daß das Maximum der Geschwindigkeit der ausströmenden Luft nur erreicht werden kann, wenn die von der Zunge gedeckte Öffnung ihre größte Weite erreicht hat.

l) Zungen mit zylindrischem Ansatzrohr ohne Windrohr. Die Zunge wird betrachtet als ein Körper, der durch elastische Kräfte in seine Gleichgewichtslage zurückgeführt wird, und durch den, wie der Sinus der Zeit periodisch wechselnden Druck im Ansatzrohr wieder daraus entfernt wird. Die Bewegungsgleichungen4) zeigen, daß der Augenblick stärksten Drucks in der Tiefe des Ansatzrohres fallen muß zwischen eine größte Elongation der Zunge nach außen, die ihm voraufgeht, und eine größte Elongation nach innen, welche nachfolgt. Wenn man nun die Schwingungsdauer gleich der Peripherie eines Kreises in 360 Grade abgeteilt denkt, so ist der Winkel e , um welchen das Maximum des Druckes vor dem Durchgang der Zunge durch ihre Mittellage eintritt, gegeben durch die Gleichung

wo L die Wellenlänge des Tones der freien Zunge in der Luft bezeichnet, l die des wirklich eingetretenen Tones, und b2 eine Konstante ist, welche bei Zungen von leichtem Material und größerer Reibung größer ist, als bei schwerem und vollkommen elastischem Material. Der Winkel e ist zu nehmen zwischen  und .
 
 

4) Ähnlich zu behandeln, wie Seebeck's Theorie des Mittönens. Repertorium der Physik VIII, 60 bis 64. Siehe auch dieses Werk, Beilage IX, Gleichung 4c. Das dortige s ist aber das Komplement des obigen zu einem Rechten und statt der Schwingungszahlen sind hier die Wellenlängen gesetzt.
 
 

In derselben Weise muß nun die Zeit bestimmt werden, um welche der größte Druck in der Tiefe des Ansatzrohres abweicht von der größten Geschwindigkeit, welche letztere wieder zusammenfallen muß mit derjenigen Stellung der Zunge, wo die Öffnung am weitesten ist. Die Berechnung dieser Größe ergibt sich aus meinen Untersuchungen über die Luftbewegung im Innern eines offenen zylindrischen Rohrs5). Das Maximum der nach der Mündung gerichteten Geschwindigkeit geht dem Maximum des Drucks voraus um einen Winkel d (die Schwingungsdauer als Peripherie eines Kreises betrachtet), der gegeben ist durch die Gleichung

worin Q den Querschnitt, l die Länge des Ansatzrohrs bezeichnet und a eine von der Form der Öffnung abhängige Konstante, welche bei zylindrischen Röhren, deren Querschnitt den Radius r hat, gleich  ist. Der Winkel d ist wieder zwischen  und  zu nehmen.

5) Journal für reine und angewandte Mathematik LVII. Wiss. Abh. Bd. I, S. 303.
 
 

Da nun Luft in das Ende des Ansatzrohrs nur eintreten kann, wenn die Zunge geöffnet ist, so muß bei einschlagenden Zungen das Maximum der nach außen gerichteten Geschwindigkeit der Luft zusammenfallen mit der größten Elongation der Zunge nach innen, es muß also sein

und d sowie e müssen negativ sein.

Bei ausschlagenden Zungen dagegen muß das Maximum der Luftausströmung zusammenfallen mit der größten Elongation der Zunge nach außen, es muß sein

und d wie e müssen positiv sein. Beide Fälle vereinigen sich in der Gleichung tang e = cotan d oder .....................................................(1) bei der die Zungen beziehlich einschlagen oder ausschlagen müssen, je nachdem die auf beiden Seiten der Gleichung (l) stehenden Größen positiv oder negativ ausfallen.

Da Q und b2 sehr kleine Größen sind, kann  nur in dem Falle einen erheblichen Wert annehmen, wenn l2 L2 sehr klein ist, also der Ton der Pfeife dem der freien Zunge nahe kommt, wie das bei den metallenen Zungen meist der Fall ist. Der Wert von l bestimmt sich dabei aus der Gleichung l.

Wenn aber der Unterschied beider Töne l - L groß ist, muß im Gegenteil  sehr klein sein, also nahehin

, worin a eine beliebige ganze Zahl bezeichnet.

Der Druckwechsel in der Tiefe des Ansatzrohrs ist nun proportional 

also ein Minimum, wenn

und ein Maximum, wenn Im ersten Fall ist die Kraft des Luftdrucks nicht ausreichend, um die Zunge zu bewegen, im zweiten Falle genügt sie bei nicht zu schweren und widerstehenden Zungen. Daher sprechen gut an die Töne, bei welchen nahehin bei denen also die Luftsäule des Ansatzrohrs wie die einer gedeckten Pfeife schwingt. Gleichzeitig sieht man, daß diese Töne fast unabhängig sind von der eigenen Tonhöhe der Zunge.

Von dieser Art sind die Töne der Klarinette; auch membranöse einschlagende Kautschukzungen an Glasröhren bis zu 16 Fuß Länge sprechen leicht an und lassen verschiedene Obertöne hervorbringen, die der Gleichung (l) gut entsprechen. Ausschlagende Zungen müssen sehr tief gestimmt sein, um reine Töne des Rohrs zu geben, daher die menschlichen Lippen dazu geeignet sind, in denen die elastischen Faserzüge mit einer großen Masse wässerigen unelastischen Gewebes belastet sind. Zylindrische Glasröhren können leicht wie Trompeten angeblasen werden und geben die Töne einer gedackten Pfeife. Von diesen sind die höheren, in denen die Differenz L2 l2 groß ist, fest anzugeben, und rein gestimmt, die unteren dagegen nicht ganz unabhängig vom Werte von L, d.h. der Spannung und Dicke der Lippen, daher unsicher und veränderlich.

2) Zungen mit kegelförmigem Ansatzrohr ohne Windrohr. Es findet ein sehr merkwürdiger Unterschied statt zwischen zylindrischen und kegelförmigen Ansatzröhren. Die Luftbewegung im Innern der letzteren läßt sich nach denselben Grundsätzen bestimmen, welche ich für die zylindrischen Röhren gebraucht habe. Man setzt innerhalb des Rohrs das Potential der Luftbewegung gleich

wo r der Abstand von der Spitze des Kegels, R der Wert von r für die Mündung, Q deren Querschnitt, a die Differenz der wahren und reduzierten Länge, n die Schwingungszahl ist. Man erhält hieraus, indem man  als sehr klein ansieht und R - r = l setzt: worin l auf den Ort der Zunge zu beziehen ist. Auch hier ist zu setzen cotan d = tan e . Es interessieren uns hier hauptsächlich die von dem Zungenton stark abweichenden Töne der Pfeife, für welche also L2 l2 groß, tan edaher ebenfalls sehr groß ist, und tan d sehr klein. Für diese muß also entweder nahehin sein . was aber keine Töne gibt, weil hierbei der Druckwechsel in der Tiefe des Ansatzrohrs zu schwach ist, oder ..............................................(2) Dies ist die Gleichung für die kräftig ansprechenden höheren Töne der Röhre.

Ich gebe hier folgend die Reihe der ans Gleichung) berechneten Töne für eine kegelförmige Röhre aus Zink, welche folgende Maße hatte:

Länge l = 122,7 cm.

Durchmesser der Öffnungen 5,5 und 0,7 cm.

Reduzierte Länge l + a, berechnet 124,77 cm.
 

Ton Wellenlänge berechnet
Länge der entsprechenden
offenen
gedackten
Pfeife
l) H 283,61 = 2/1×141,80 = 4/1 × 70,90
2) h 139,83 = 2/2 × 139,84 = 4/3 × 104,88
3) fis1 91,81 = 2/3 × 137,71 = 4/5 ×114,76
4)h1 + 67,94 = 2/4 × 135,88 = 4/7 × 118,89
5) dis2 53,76 = 2/5 × 134,39 = 4/9 × 120,95
6)g2 44,40 = 2/6 × 133,21 = 4/11 × 122,11
7) b2 37,79 = 2/7 ×132,26 = 4/13 × 122,82
8) c3 32,87 = 2/8 × 131,50 = 4/15 × 123,28
9) dis3 29,22 = 2/9 × 131,47 = 4/17 × 124,17

 

Die Töne vom 2ten bis 9ten konnten beobachtet werden, und fanden sich vollständig übereinstimmend mit der Rechnung. Man sieht aus den beiden letzten Rubriken, daß die hohen Töne sich fast genau denen einer gedackten Pfeife anschließen, deren Länge der reduzierten Länge der Röhre 124,7 gleich ist; die tieferen schließen sich näher an die einer offenen Pfeife, deren Länge bis zur Spitze des Kegels reichte. Die reduzierte Länge einer solchen wäre R + a == 142,6 Ctm. Gewöhnlich werden die Töne der Blechinstrumente den Tönen einer offenen Pfeife gleich gesetzt, aber die oberen sind verhältnismäßig zu tief gegen die unteren, in unserem Falle um mehr als einen halben Ton. Bei den Trompeten und Hörnern wird dieser Fehler vielleicht einigermaßen durch den Schallbecher an der Mündung korrigiert. Bei den Posaunen helfen die Auszüge nach.

Während die Trompeten, Posaunen und Hörner zu den Zungenwerken dieser Klasse mit kegelförmigem Rohr und tiefen ausschlagenden Zungen gehören, tragen die Oboen und Fagotte hohe einschlagende Zungen. Sie geben bei der Überblasung ebenfalls die höhere Oktave und dann die Duodecime, wie eine offene Pfeife. Die Rechnung nach Gleichung (2) stimmt für die Oboe sehr gut mit Zamminer's Messungen.

II. Das Anblasen der Flötenpfeifen.

In meiner Abhandlung über diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen (Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom 23. April 18686) habe ich die mechanischen Eigentümlichkeiten solcher Bewegungen beschrieben und aus der Theorie abgeleitet, wie sie der (auf S. 154 beschriebene) blattförmige Luftstrom an der Mündung einer angeblasenen Orgelpfeife ausführt. Die Grenzflächen dieser Schicht, welche die in die Mundöffnung der Pfeife ein- und ausströmende Luftmasse quer durchbricht, sind als Wirbelflächen zu betrachten, das heißt als Flächen, die mit einer kontinuierlichen Schicht von Wirbelfäden belegt sind. Solche Flächen haben ein sehr leicht störbares Gleichgewicht. Eine ebene Fläche dieser Art, gleichmäßig mit parallelen geraden Wirbelfäden bedeckt, von unendlicher Ausdehnung könnte bestehen; wo aber die geringste Ausbiegung erst einmal eingetreten ist, rollt sie sich in immer enger sieh zusammenziehende Spiralwindungen auf, welche immer weiter greifende Teile der Fläche in ihren Wirbel hineinziehen.

6) Wiss. Abh. Bd. I, S. 146. Diese Neigung der Trennungsflächen diskontinuierlich bewegter Luftmassen sich in Wirbel aufzulösen, sieht man sehr deutlich auch an zylindrischen Luftströmen, die aus zylindrischen Röhren herausgetrieben werden und denen etwas Rauch zugemischt ist, um sie sichtbar zu machen. Invollkommen ruhiger Luft können sie unter günstigen Umständen einen bis drei fuß lang werden. Bei dem geringsten Geräusch aber zucken sie zusammen, indem sie sich schon nahe an ihrem Ursprung in Wirbel auflösen. Eine große Menge von Erscheinungen dieser Art hat Herr Tyndall auch an brennenden Gasstrahlen beobachtet und beschrieben7).

            7) J. Tyndall: "On Sound". Deutsche Übersetzung, Braunschweig 1874. 8. 274 bis 292. Derselbe im "Philosophical Magazine" Ser. IV, Vol. XXXIII, 92 bis 99 und 375 bis 391.

Diese Auflösung in Wirbel findet an dem Luftblatt der Pfeifenmündungen da statt, wo es gegen die Lippe der Pfeife schlägt. Von dieser Stelle ab löst es sich in Wirbel auf, wobei es sich mit der umgebenden oszillierenden Luft der Pfeife mischt. Je nachdem es ein- oder auswärts strömt, verstärkt es deren nach innen oder nach außen gerichtete Geschwindigkeit und wirkt also wie eine beschleunigende Kraft von periodisch wechselnder entgegengesetzter Richtung, die sehr schnell von der einen nach der anderen Seite umschlägt. Den transversalen Oszillationen der umgebenden Luftmasse folgt ein solches Luftblatt ohne erheblichen Widerstand. Während der Phase des Einströmens der Luft in die Mündung der Pfeife wird auch das Luftblatt einwärts gerichtet und verstärkt nun seinerseits wieder die lebendige Kraft des Einströmens. Umgekehrt, während des Ausströmens8).

        8) Die Bildung dieses Luftblattes und seines Schwingens ist von den Herren Schneebeli (Poggendorff's Annalen Bd. 153, S. 301), Sonreck (ebenda Bd. 158, S. 129) und Hermann Smith (English Mechanic January 1867; Nature Vol. VIII, p. 25, 45, 383, Vol. IX, p. 301, Vol. X, p. 161, 481, Vol. XI, p. 325) beschrieben, auch hat schon der erstgenannte die mechanische Erklärung für die wesentlichen Züge dieses Vorgangs gegeben.
 

Wenn man die beschleunigende Kraft des Luftstroms durch eine Fourier'sche Reihe dargestellt denkt, so werden nach dem (auf Seite 57) erwähnten Gesetze die Amplituden der einzelnen Glieder von der Ordnungszahl m im Allgemeinen abnehmen wie .In der Tat braucht man nur den in Beilage III Gleichung (1b) und (3) gegebenen Ausdruck für die Elongation y einer gezapften Saite zu benutzen, um für die Zeit t = 0 den Wert von  zu bilden, so bekommt man die Reihe, welche den periodischen Wechsel zwischen einem höheren und einem niederen Werte des y ausdrückt, wie ihn Fig. 19 (auf Seite 94) darstellt.

Aus meinem oben zitierten Aufsatze über die Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden ergibt sich, daß überall in der Röhre eine positive Komponente des Drucks zusammenfällt mit dem Maximum der gegen die Öffnung gekehrten Geschwindigkeit, welche mit dieser Geschwindigkeit multipliziert den Wert hat:

Hierin bezeichnet: a die Schallgeschwindigkeit,

A das Maximum der Geschwindigkeit am Ende der Röhre,

Q den Querschnitt des zylindrischen Teils der Röhre,

, und l die Wellenlänge.

Wenn nun von irgend einem Querschnitt der Röhre zwei Wellenzüge nach beiden Enden hin gehen, die in jenem Querschnitt übereinstimmende Geschwindigkeit haben, so muß jene Druckkomponente in beiden Wellenzügen entgegengesetzt gerichtet sein. Das gilt für die Anblasestelle, auch wenn sie in der Tat dem einen Ende des Rohres ganz nahe rückt, so daß der eine Wellenzug verschwindend kleine Länge bekommt. Unter diesen Umständen muß die durch die eingeblasenen Luftmassen hervorgerufene Beschleunigung jenem Druckunterschiede zweimal genommen entsprechen. Da in der Öffnung selbst A die Geschwindigkeit ist, so ist jener Druckunterschied doppelt genommen für den mten Ton Dies würde der einzige Druckunterschied sein, wenn der angeblasene Ton genau dem Eigenton der Röhre entspräche. Dies ist aber mit dem Mechanismus des Anblasens, wie sich zeigen läßt, nicht zu vereinigen, und es fehlt immer eine Länge b zwischen den beiden Wellenzügen, die eingeschaltet werden müßte, um sie zu einem zusammenhängenden Zuge stehender Schwingungen zu machen. In diesem Falle kommt noch ein Druckunterschied hinzu gleich Für die kleineren Ordnungszahlen wird man den Sinus durch den Bogen ersetzen und dieses letztere Glied als das größere betrachten dürfen. Demgemäß werden die niederen Partialtöne des Klanges dann den Koeffizienten mAm wie  zunehmen lassen, d. h. Am wie, die höheren dagegen Am wie , Die Geschwindigkeiten der Partialschwingungen in entfernteren Teilen des freien Raumes draußen haben den Faktor k einmal mehr (siehe Gleichungen (12g) und (12h) meiner Abhandlung) als die Geschwindigkeiten in der Röhre. Diese werden also für die niederen Werte von m wie  zunehmen, was auch für die Geschwindigkeiten der Violinsaiten der Fall ist, die höheren aber nehmen ab wie . Je größer Q, der Querschnitt der Röhre, desto eher wird diese stärkere Abnahme der hohen Töne eintreten. Es sind deshalb auch hauptsächlich die engeren metallischen Pfeifen, deren Klänge die Orgelbauer mit dem der Violine und des Cello vergleichen.

Die Umstände, welche auf den Mechanismus des Anblasens und den Wert der Größe b Einfluß haben, erfordern eine weitläufigere Erörterung. Ich hoffe letztere bald an einem anderen Orte geben zu können.