Inzwischen würden diese Punkte von im Ganzen nur unerheblichem Interesse keinesweges zu einer so ausnehmend umständlichen und mühseligen Untersuchung der Maßverhältnisse der Galleriegemälde Anlaß gegeben haben, als ich darauf gewandt habe. Es tritt aber diese Untersuchung hinein in eine, seit lange von mir unternommene, bisher noch nicht abgeschlossene, allgemeinere Untersuchung über die gesetzlichen Maßverhältnisse von Kollektivgegenständen (d.h. Gegenständen aus unbestimmbar vielen nach Zufallsgesetzen variierenden Exemplaren, wie solche in verschiedensten Gebieten vorkommen,) wovon die artistischen eine besondere Abteilung bilden. In dieser allgemeinen Untersuchung aber nimmt die Untersuchung der Dimensionen der Galleriegemälde eine wichtige Stelle ein, da die Galleriegemälde aus Gesichtspunkten, von denen ich unter 6) spreche, vor vielen anderen Kollektivgegenständen geeignet erscheinen, einer, früher ¹⁾ gelegentlich von mir aufgestellten und seitdem weiter entwickelten, Theorie über die allgemeinen Verteilungsgesetze der Maße von Kollektivgegenständen zum Prüfstein zu dienen, und weil sie eine entschiedene Bestätigung derselben gewahren; ja ich gestehe, diese Untersuchung bloß deshalb an diesem, doch nur sehr beiläufige Anknüpfungspunkte dafür darbietenden, Orte mitzuteilen, weil ich sonst vielleicht überhaupt nicht mehr dazu kommen würde sie mitzuteilen, es aber Schade sein möchte, wenn die Resultate einer Untersuchung, deren Mühe sich kaum jemand wieder nehmen dürfte, verloren gingen, da ihre Tragweite auf das ganze Gebiet der Kollektivgegenstände übergreift, über deren gesetzliche Maßverhältnisse bisher noch gar nichts Genügendes vorlag. Denn eine, von Quetelett (in s. Lettres sur la probabilite) aufgestellte, scheinbar sehr ansprechende, Theorie über die, im Folgenden mit zur Sprache kommenden, weil die Galleriebilder in hohem Grade mit treffenden, asymmetrischen Verteilungsverhältnisse der Kollektivgegenstände hat sich nach meiner Untersuchung nicht bloß bei dem hier behandelten Gegenstande, sondern überhaupt, mit den Tatsachen ganz unvereinbar gezeigt.

    In der Tat sollte man für den ersten Anblick meinen, daß die Bildergrößen von so mannigfachen, zufällig wechselnden, Verhältnissen des Inhaltes, des Raumbedürfnisses, der Subjektivität der Künstler und sonst Zufälligkeiten abhängen, daß von gesetzlichen Maßverhältnissen derselben überhaupt nicht die Rede sein könnte. Hiergegen wird man vielleicht nicht ohne Verwunderung folgends sehen, daß sich manches ganz Allgemeingültige darüber für alle Bilderklassen, so wie manches charakteristisch Verschiedene für die verschiedenen Klassen, aussagen läßt. Jede Klasse und Abteilung ist durch gewisse Hauptwerte (M, G, C, D', D) anderen gegenüber charakterisiert, und verstehen wir unter Verteilung die Bestimmung, wie viel Bilder von gegebener Höhe h und Breite b unter einer gegebenen großen Zahl von Bildern gegebener Klasse und Abteilung vorkommen, oder anders ausgedrückt, wie sich die Zahl einer gegebenen Art von Bildern nach ihrer Höhe und Breite verteilt, so zeigen die Verteilungstafeln aller Klassen und Abteilungen denselben Hauptgang der Verteilung, der sich aber nach der Größe und Lage der Hauptwerte darin spezialisiert; ja man kann in den gut definierten Klassen und Abteilungen, nach Bestimmung weniger Konstanten (D', v,, v' ) aus der Erfahrung, zum Voraus berechnen, wie viel Bilder von gegebener Höhe und Breite unter einer gegebenen großen Zahl derselben zu erwarten sind. ²⁾

    Zur genaueren Beurteilung der folgenden Daten gehören noch manche Nebenangaben, die ich zu größerem Teile erst unten unter 7) im Zusammenhange gebe. Zunächst nur Folgendes.

    Es sind nur Galleriebilder und zwar aus den 22 unter 7) angegebenen öffentlichen Galerien gemessen oder vielmehr die, in den Galleriekatalogen angegebenen, Maße, auf die Bildergröße im Lichten des Rahmens gehend, benutzt, und der Vergleichbarkeit halber alle auf metrisches Maß reduziert.

    Als Einheit der Masse gilt daher auch folgends ausnahmslos der Meter = 3,1862 preuß. Fuß = 3,0784 paris. Fuß. Für den Flächenraum h b vergleicht sich 1 Qu. Meter mit 10,156 preuß. Qu. F. oder 9,477 par. Qu. F.

    Hier und da wird man im Folgenden einer Zahl ein ! beigefügt finden, was bedeutet, daß sie auffällig ist, ohne daß eine Kontrolle ihrer Bestimmung zu einer Änderung derselben geführt hat.
 

    Blickt man auf die Originaltafeln, so sieht man darin die den Maßen beigegebenen Zahlen sich so unregelmäßig ihrer Größe nach folgen, daß man in der Tat meinen sollte, an eine Regel sei nicht zu denken. Zur Probe gebe ich ein Stück aus der, im Ganzen 775 Exemplare befassenden, Verteilungstafel für Genre h, h > b, also nach angegebener Bezeichnungsweise für die Höhenmaße h bei Genrebildern, deren Höhe größer als die Breite ist.

    Es kamen also 21 Bilder auf das Höhenmaß 0,33 Meter, bloß 9 auf 0,34 Meter, dann wieder 17 auf 0,35 Meter u. s. f. Ähnlich stellt sich die ganze Tabelle für Genre h, h > b dar, und stellen sich alle Tafeln der anderen Klassen und Abteilungen dar, was der Behauptung, daß die Verteilung der Galleriebilder bestimmten Regeln unterliege, direkt zu wiedersprechen scheint.

    Inzwischen ändert sich die Sache und nehmen die Tafeln gleich ein ganz anderes Aussehen an, wenn man die Zahlen für größere, nur immer gleiche, Maßintervalle zusammenfaßt, also z. B. statt die Zahl für jedes um 0,01 Meter vom folgenden verschiedene Maß besonders aufzuführen, die Zahlen für ganze Intervalle von 0,1 Meter Größe (= 3,82 preuß. Zoll, = 3,69 paris. Zoll) also für das Zehnfache der Originaltafeln, zusammenfaßt. Hier folgen die so reduzierten Tafeln für beide Abteilungen von Genre und Landschaft, und h > b von Stillleben, wonach z. B. 133 Höhenmaße von Genrebildern, deren Höhe größer als die Breite, im Intervall von 0,2 bis 0,3 Meter Höhe enthalten sind. Die Totalzahl m der Exemplare jeder Klasse und Abteilung ist unten angegeben. Vielen Zahlen der Tabelle sieht man eine dezimale 0,5 beigefügt. Dies rührt daher, daß Zahlen, die auf den Grenzwert eines Intervalles selbst fielen, halb dem einen halb dem anderen der dadurch geschiedenen Intervalle zugerechnet worden sind, was bei ungeraden Zahlen eine halbe Einheit mitführt. So hat sich z. B. aus dem (s. o.) gegebenen Stück der Originaltafeln für Genre h, h > b die in der vorstehenden Tafel gegebene Zahl 161 für das Intervall 0,3 bis 0,4, und 127,5 für 0,4 bis 0,5 ergeben. Will man die Maßzahlen von h oder b für das kombinierte h > b und b > h haben, so braucht man bloß die Maßzahlen beider Abteilungen dafür zu addieren.

    Man sieht, daß die Verteilung überall wesentlich denselben Gang befolgt. Überall gibt es ein Intervall, nennen wir es das Hauptintervall, worin die im Druck hervorgehobene Maßzahl ein Maximum ist, von wo an nach beiden Seiten die Maßzahlen rasch abnehmen, und zwar liegt das Hauptintervall dem obern Ende der Tafel, welches mit den kleinsten Maßen anfängt, viel näher als dem unteren, welches mit den größten Werten abschließt, was sogar doch viel auffälliger sein würde, wenn nicht die Zahlen für alle Maße über 1,6 Meter in Bausch und Bogen (als Rest) zusammengefaßt waren. Hiermit bietet die Tafel ein besonders interessantes Beispiel eines Kollektivgegenstandes von sehr stark asymmetrischer Verteilung dar. Dabei sieht man, daß der Gang der Werte vom Hauptintervall ab nach beiden Seiten sich einem regelmäßigen sehr genähert hat. Hier und da freilich, so namentlich bei Genre b, b > h, Landschaft h, h > b und b, b > h, finden auch noch starke Unregelmäßigkeiten statt, und fehlen nirgends bei den kleinen Zahlen im untersten Teile der Tafel; aber es läßt sich voraussetzen, daß diese vollends verschwinden oder sich doch sehr mindern würden, wenn eine viel größere Zahl der Exemplare zu Gebote gestanden hätte, so wie sie sich auch um so mehr ausgleichen, in je größere Intervalle man die Maße zusammenfaßt. Man rechne z. B. die Maßzahlen für je zwei aufeinanderfolgende Intervalle zusammen , so wird dies sehr spürbar. Ja stände eine sehr große Zahl von Maßen zu Gebote, so möchten bei günstiger Bestimmungsweise der Klassen selbst die großen Unregelmäßigkeiten verschwinden, welche sich in dem Probestück (s. o.) bei Fortschritt der Maße um 0,01 Meter zeigen.

    Einen ganz ähnlichen Gang als die Genre-, Landschafts- und Stilleben-Bilder zeigen auch die religiösen und mythologischen, nur daß bei diesen Klassen, unstreitig wegen ungünstiger Zusammenfassung der darunter gerechneten Bilder, worüber 7) nachzusehen, einige sehr große Unregelmäßigkeiten im Gange bleiben, die sich kaum durch vergrößertes m ausgleichen dürften, daher sich diese Klassen nicht zur Prüfung der Verteilungsgesetze eignen und nicht so weit von mir durchgearbeitet worden sind als die anderen. Von Stillleben b > h lag überhaupt nur die für eingehende Untersuchungen in diesem Felde zu kleine Zahl 204 vor, daher auch hier verhältnismäßig stärkere Uregelmäßigkeiten geblieben sind, als daß sich eine vollständige Durcharbeitung gelohnt hätte.

    In Rücksicht dessen stelle ich allgemein in den folgenden Tabellen Genre und Landschaft, als die am vollständigsten durchgearbeiteten Klassen, voran, religiöse und mythologische Bilder, als die am wenigsten durchgearbeiteten, zuletzt.

    Will man eine genauere vergleichende Charakteristik der Maßverhältnisse der Galleriegemälde (oder überhaupt eines Kollektivgegenstandes ⁴⁾ haben, so muß man aus den Verteilungstafeln gewisse Werte ableiten, welche ich Bestimmungsstücke nenne und wovon ich die wichtigsten, M, G, C, D', D, als Hauptwerte in folgender Tabelle vereinige, unter Vorausstellung der Zahl der Exemplare m, woraus sie abgeleitet sind.⁵⁾ Folgends die Bedeutung der Buchstaben und hiermit der Hauptwerte, zu deren Bezeichnung dieselben dienen. Unter a wird in folgender Erläuterung ganz allgemein das Maß der Höhe oder Breite eines einzelnen Exemplares verstanden.

    G, geometrisches oder Verhältnismittel, der Wert, welcher in gleichem (zusammengesetzten) Verhältnis von größeren Maßen überstiegen und von kleinern unterstiegen wird, so zu erhalten, daß man die Summe der Logarithmen aller a mit m dividiert, und zum Quotienten die Zahl in den Logarithmentafeln sucht. Ist mathematisch notwendig stets etwas kleiner als m.

    C, Zentralwert oder Wertmitte, der Wert, der in einer nach der Größe der Maße a geordneten Reihe die mittelste Stelle einnimmt, also eine gleiche Zahl, nicht wie M eine gleiche Summe, von Abweichungen nach beiden Seiten von sich abhängig hat. (Genauigkeitshalber von mir aus jedem der 4 Intervalle von 0,04 Größe, in welchen C liegt, durch Interpolation besonders bestimmt, und das Mittel der, im Allgemeinen wenig von einander abweichenden, Bestimmungen genommen.)

    D, einfach dichtester Wert, d. i. der Wert, bezüglich dessen die Abweichungen (nicht verhältnismäßig dazu, sondern einfach, absolut, arithmetisch genommen,) um so seltener werden, je größer sie sind, und um den sich daher die Einzelwerte a am dichtesten zusammendrängen, oder welcher bei Teilung der Verteilungstafel in gleiche kleine Intervalle die Mitte dessen bildet, welches die größte Zahl von Maßen a einschließt, die Unregelmäßigkeiten der Verteilungstafel dabei als ausgeglichen vorausgesetzt.

    D', dichtester Verhältniswert (im 33. Abschn. als Normalwert aufgeführt), d. i. der Wert, bezüglich dessen die Abweichungen um so seltener werden, je größer sie in Verhältnis dazu sind, mathematisch dadurch bestimmbar, daß man alle a durch ihre Logarithmen ersetzt, den dichtsten Wert dieser Logarithmen im selben Sinne und derselben Weise sucht, als der einfach dichtste Wert D aus den a selbst gesucht wird, und zu dem so erhaltenen Werte D_log oder log D' die Zahl D' in den Logarithmentafeln sucht. Fällt nicht mit D selbst genau zusammen, da die Logarithmen anders als die zu ihnen gehörigen Zahlen fortschreiten, sondern ist stets etwas größer. ⁶⁾

    Ich habe zwar die Hauptwerte so wie die weiterhin anzuführenden Abweichungswerte noch auf mehr Dezimalen berechnet als ich hier verzeichne; für den Grad der Genauigkeit, den diese Bestimmungen zulassen, reichen aber drei vollkommen hin, und ich erwähne Jenes nur, weil ich doch der Berechnung der Bestimmungsstücke aus einander, wo solche statt fand, die Werte mit mehr Dezimalen zu Grunde gelegt habe, was, wenn man die Rechnung nach den hier zu gebenden Daten kontrollieren will, einen unbedeutenden Unterschied in der letzten Dezimale mitführen kann.

    Vor Diskussion der Werte dieser Tabelle ist darauf aufmerksam zu machen, daß diese Werte nur als mehr oder weniger angenähert gelten können. Die ganz richtigen Werte würden wir haben, wenn wir alle Galleriegemälde, die existieren, existiert haben und existieren werden, zur Bestimmung voriger Werte hätten zuziehen können; aber nach Wahrscheinlichkeitsgesetzen lassen sich die aus endlichem m abgeleiteten Werte um so angenäherter als richtig voraussetzen, aus je größerem m sie abgeleitet sind, und je weniger sich Unregelmäßigkeiten im Gange der Werte verraten. Mit Rücksicht hierauf läßt sich von manchen Werten voriger und folgender Tabellen, welche nur angenähert gleich sind, vermuten, daß die richtigen ganz gleich sein würden, und daß Gesetze, die sich nur angenähert durch die Werte der Tabellen bestätigt finden, bei voller Richtigkeit derselben sich ganz bestätigen würden. Mittelst der später folgenden Bestimmungen (e , v, v, , v') ließen sich übrigens Sicherheitsbestimmungen über die vorigen Hauptwerte gewinnen, worauf ich doch hier nicht eingehe, um dafür folgenden Bemerkungen Raum zu geben.

    Zuvörderst lassen sich aus den Werten des m in voriger Tabelle Bestimmungen über die relative Häufigkeit des Vorkommens von Bildern gegebener Klasse und Abteilung in Galerien ableiten, wobei freilich zu erinnern, daß die Verhältnisse dieser Häufigkeit sich nach den einzelnen Gallerien sehr unterscheiden; die Spezialstatistik in dieser Hinsicht würde nur zu viel Raum in Verhältnis zu ihrem Interesse kosten. Halten wir uns an das Gesamtergebnis der 22 Gallerien, so folgen sich (ohne Unterscheidung der Abteilungen h > b und b > h) nach der Kolumme Kombin. die 5 untersuchten Klassen in Betreff der Häufigkeit der Bilder so: Religiöse, Landschaften, Genre, mythologische, Stilleben. Das Verhältnis der Landschaften zu Genre insbesondre (2076 : 1477) übersteigt etwas das Verhältnis 4 : 3.

    Von Genrebildern sind die, deren Höhe größer als die Breite (h > b) etwas zahlreicher, als die, deren Breite größer als die Höhe (b > h), wogegen bei Landschaften die b > h mehr als 6 mal so zahlreich sind als die h > b. Einiges Interesse kann es haben, daß bei religiösen Bildern die h > b ungefähr doppelt so zahlreich sind als die b > h, unstreitig, weil der Himmel oft in großer Höhe zur Darstellung zugezogen wird, während bei den mythologischen Bildern umgekehrt die Breite bevorzugt ist, indem der b > h fast doppelt so viel (609 gegen 350) sind als der h > b.

    Was die Hauptwerte anlangt, so ist man bei Kollektivgegenständen überhaupt gewohnt, bloß das arithmetische Mittel M zu berücksichtigen, das um gleiche Summen von Abweichungen überschritten und unterschritten wird. Indes leuchtet ein, daß es an sich eben so viel Interesse hat, den Wert G zu kennen, der statt um gleiche Summen, in gleichem Verhältnis von den anderen Werten überschritten und unterschritten wird, den Wert C, der die Gesamtheit der Werte der Zahl nach mittendurch teilt, und die Werte D' und D, um welche sich die Werte im einen und anderen Sinne am dichtsten schaaren.

    Bei den meisten Kollektivgegenständen nun fallen alle Hauptwerte nahe mit dem M und unter einander zusammen, doch gibt es auch Gegenstände mit stärker von einander abweichenden Hauptwerten; nach Ausweis voriger Tabelle gehört unser Gegenstand dazu, und läßt dabei folgendes gesetzliche Verhältnis zwischen diesen Werten erkennen.

    In allen Klassen und Abteilungen nimmt M der Größe nach die oberste Stelle, C die mittelste, D die letzte Stelle ein; indes G, C, D' die Größenordnung gegen einander wechseln können, indem bei Stillleben h > b die Größenordnung umgekehrt als bei den anderen ist. Auch kann dies nach der unter 6) zu besprechenden Verteilungstheorie sehr wohl der Fall sein, als welche überhaupt nur fordert, daß C der Größe nach zwischen G und D' falle.

    Hat man die Verteilungstafeln so wie in Tabelle II geschehen, auf so große Intervalle gebracht, daß die Unregelmäßigkeiten des Ganges in der Hauptsache ausgeglichen erscheinen, so kann man die Lage des einfach dichtsten Wertes D schon ungefähr daraus bestimmen, indem sie weit überwiegend im Hauptintervall, welches die größte Zahl vereinigt, zu finden, wie man sich in der Tat überzeugen kann, wenn man in Tabelle II die Intervalle aufsucht, in welchen die hier in Tabelle III gegebenen Werte von D liegen. Doch kann die Lage des richtigen D auch in ein Nachbarintervall des empirisch bestimmten Hauptintervalls fallen, sei es wegen Unregelmäßigkeiten, die sich bei Berechnung des D aus dem allgemeinen Gange der Werte mehr oder weniger ausgleichen, (so bei Genre b, b > h) sei es, weil durch veränderten Ausgang der Intervalle das Hauptintervall sich demgemäß verschieben kann, (so bei Landsch. h, h > b) daher man ein paar Ausnahmen von der Lage des D im Hauptintervall bei jener Aufsuchung finden wird. — Die Größe von D' läßt sich aus der von G und C berechnen, worüber Näheres unter 6).

    Insofern die Hauptwerte nicht unter einander zusammenfallen, kann für den ersten Anblick eine Verlegenheit entstehen, welchen von ihnen man bevorzugen soll, wenn es gilt, allgemeine Größenvergleiche zwischen den Bildern verschiedener Klassen und Abteilungen anzustellen. Wo es nun, wie im 33. Abschn., bloß darauf ankommt, die Größenordnung in Betracht zu ziehen, ist es gleichgültig, an welchen man sich halten will, weil nach vorstehender Tabelle zwar keine genaue Proportionalität, aber doch dieselbe Ordnung der Größe nach zwischen ihnen in den verschiedenen Klassen und Abteilungen besteht. Im Grunde freilich kann ein rein quantitativer Vergleich nur nach den beiden Mittelwerten M, G geschehen, indes der Zentralwert C und die beiden dichtsten Werte D', D für die Anordnungs- und Abhängigkeitsverhältnisse der Werte bedeutsamer sind. Wollte man z. B. einen Größenvergleich zweier Arten von Bildern nach einem der dichtsten Werte vornehmen, so würde es analog sein, als wenn man zwei Menschen nach dem Gewicht oder Raumumfange ihres Gehirns oder Herzens vergleichen wollte, welche zwar im Allgemeinen mit dem des ganzen Menschen parallel gehen, ohne aber damit proportional zu gehen; wogegen die beiden Mittel, nur in verschiedenem Sinne, direkt maßgebend für das Totalgewicht oder den totalen Raumumfang sind. Von diesen Mitteln hat das arithmetische M ein allgemeineres und praktischeres Interesse in sofern, als sich danach unmittelbar ergibt, wie viel Exemplare durchschnittlich dazu gehören, einen gegebenen Raum nach dieser oder jener Dimension zu erfüllen; auch ist es bezüglich der einfachen Dimensionen h, b einfacher zu bestimmen als G, weil dazu nicht auf die Logarithmen der a zurückgegangen zu werden braucht; aber das ändert sich, wenn man zu den Verhältnissen  und Flächen h b übergeht, deren Verhältnismittel man unmittelbar aus den G der h und b bestimmen kann, nicht so aber deren arithmetisches Mittel aus den M der h und b; auch läßt sich bemerktermaßen D' nach G und C aber nicht nach M und C berechnen, wie unter 6) zu zeigen. Andrerseits hat von den zwei dichtsten Werten der einfach dichtste D ein mehr auf der Hand liegendes Interesse, sofern unmittelbar danach beurteilt werden kann, um welche Dimension herum sich die Bilder am meisten häufen; aber D' hat ein tieferes und wichtigeres Interesse, sofern die ganze Verteilung der Werte davon abhängig ist, und D wohl nach D' und einem davon abhängigen Werthe (v,) aber nicht umgekehrt berechnet werden kann. Hiernach möchte ich D' überhaupt als den bedeutsamsten unter den Hauptwerten ansehen und habe daher auch diesen Wert im 33. Abschnitt als Normalwert aufgeführt. C hat das Interesse, daß man nach Kenntnis desselben gleich viel wetten kann, ein Bild werde auf die eine oder andere Seite desselben fallen, und wenn z. B. ein Bild größer als C ist, wissen kann, daß dasselbe mehr kleinere Bilder unter sich als größere über sich hat, umgekehrt, wenn das Bild kleiner als C ist.

    In den Hauptwerten sind Centra der Verteilung gegeben; genauer aber sind die Verteilungsverhältnisse erst zu beurteilen, wenn man teils die Zahl der Werte a, welche kleiner und größer als die Hauptwerte sind, und hiermit die Zahl der Abweichungen der einzelnen a von den Hauptwerten nach beiden Seiten kennt, teils die durchschnittlichen Abweichungen, mittelst deren man erfährt, ob eine Klasse oder Abteilung wenig oder viel um ihre Hauptwerte schwankt. Hierzu dienende Werte sind in folgender Tabelle enthalten.

    Darin bedeuten m, , m' die Zahl der negativen und positiven Abweichungen von M, und g, , g' die von G. Die Zahl der Abweichungen bezüglich C ist dem Begriffe von C gemäß nach beiden Seiten gleich; die Zahl bezüglich D' wird, als wichtig für die Verteilungsrechnung unter 6) gegeben werden; die Zahl bezüglich D lasse ich Kürze halber bei Seite. (Zur genaueren Bestimmung der Abweichungszahlen ist, entsprechend als bei Bestimmung von G, 4fache Interpolation der 4 Intervalle von 0,04 Größe, in denen der betreffende Hauptwert liegt, und Mittelziehung aus den 4 Bestimmungen angewandt worden.)

    Ferner bedeutet e die mittlere Veränderung oder einfach mittlere Abweichung bezüglich M, so erhalten, daß die Summe der Abweichungen aller a von M (negative mit den positiven nach absolutem Werte zusammengerechnet) mit der Gesamtzahl derselben m dividiert wird; — v die mittlere Verhältnisabweichung bezüglich des Verhältnismittels G, welche angibt, in welchem durchschnittlichen Verhältnisse G von den einzelnen a unterstiegen und überstiegen wird, so erhalten, daß alle a auf ihre Logarithmen gebracht, die Differenzen dieser Logarithmen von log G genommen, die Summe dieser Differenzen, (positive und negative nach absolutem Werte zusammenaddiert) mit m dividiert, und zum Quotienten die Zahl in den Logarithmentafeln gesucht wird.

    Man kann nun zuvörderst bemerken, daß die Asymmetrie bezüglich M überall negativ, d. i, die Zahl m, der negativen Abweichungen von M größer als die der positiven m' ist, und zwar sehr beträchtlich größer ist, indes die, durch das Verhältnis zwischen g, und g' bestimmte Asymmetrie bezüglich G geringer und bei Stilleben h > b sogar für h fast fehlend und für b von entgegengesetzter Richtung als bezüglich M ist. Nach dem Begriffe von C ist sie überhaupt negativ oder positiv bezüglich eines Hauptwertes, je nachdem er größer oder kleiner als C ist.

    Zweitens kann man bemerken, daß h mit dem zugehörigen b in der Asymmetrie (dem Verhältnis zwischen der positiven und negativen Abweichungszahl) sowohl bezüglich M als G allgemein übereinstimmt, indem die geringen Unterschiede, welche die Tabelle dazwischen zeigt, als zufällig betrachtet werden können. Nur bei den Religiösen ist der Unterschied in dieser Beziehung zwischen h und b etwas größer; aber die großen Unregelmäßigkeiten dieser Klasse erlauben überhaupt nicht, sichere gesetzliche Bestimmungen daraus zu gewinnen.

    Der Wert e gibt Aufschluß über die durchschnittliche Schwankungsgröße der Einzelexemplare um das arithmetische Mittel M, und nach Vergleich der Werte e dieser Tabelle mit den Werten von M in Tabelle III sieht man, daß, je größer M, so größer auch die Schwankung; wogegen die, aus den mitgeteilten Werten leicht zu berechnende, verhältnismäßige Schwankung  keine sehr starken Unterschiede nach Klassen und Abteilungen zeigt. Aber die verhältnismäßige Schwankung beurteilt man besser, ohne einer neuen Rechnung dazu zu bedürfen, nach der, auf G bezüglichen, mittleren Verhältnisabweichung v, wo sich unmittelbar zeigt, daß dieselbe zwischen den verschiedensten Bildern nicht sehr stark variiert, nur von 1,582 bis 1,707; und fraglich, ob nicht selbst diese Verschiedenheiten wesentlich nur von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängen. Je mehr v von der Einheit abweicht, desto größer die verhältnismäßige Schwankung; ein Wert = l würde bedeuten, daß alle Exemplare dieselbe Größe G haben, mithin gar keine Schwankung in Bezug darauf stattfände.

    Sowohl e als v ändern sich ein wenig mit der Zahl m der Exemplare, aus der sie abgeleitet sind, und bedürfen nach der obigen Bestimmungsweise eigentlich noch einer kleinen Korrektion, sog. Korrektion wegen des endlichen m, um sie auf den Normalfall zurückzuführen, daß sie aus einem unendlichen m abgeleitet wären. Doch kann diese Korrektion, welche um so geringfügiger wird, je mehr m wächst, bei so großem m, als hier zur Bestimmung von e und v vorgelegen hat, füglich vernachlässigt werden, und ist auch in den Bestimmungen der Tabelle vernachlässigt worden. Um sie noch vorzunehmen, hätte man das nach obiger Regel bestimmte e noch mit zu multiplizieren, und denselben Korrektionsfaktor auf den logarithmischen Quotienten anzuwenden, zu welchem die in den Logarithmentafeln gesuchte Zahl das v gibt.

    Einfacher, nur minder sicher, als nach den durchschnittlichen e , v, läßt sich die größere oder geringere Schwankung der Bilder auch nach dem einfachen Abstande der extremen Werte von einander oder von den Hauptwerten beurteilen; auch hat es ein gewisses allgemeineres Interesse, die größten und kleinsten Werte zu kennen, bis zu welchen ein Kollektivgegenstand unter einer gegebenen Zahl von Exemplaren gelangt ist, wobei man freilich nicht übersehen darf, daß, wenn die Zahl der Exemplare und hiermit der Spielraum der Abweichungen sich vergrößert hätte, auch wohl die Extreme noch weiter von einander abgewichen sein könnten; so daß man keine festen Werte in den bei gegebenem m beobachteten Extremen sehen kann. Nicht überschreitbare Grenzen derselben aber sind mathematisch überhaupt nicht angebbar; nur läßt sich im Allgemeinen sagen, daß, wenn die Zahl der Exemplare schon groß ist, sie nach Wahrscheinlichkeitsgesetzen in ungeheurem Verhältnisse weiter wachsen muß, wenn ein erheblich größeres Auseinanderweichen der Extreme erwartet werden soll. Auf genauere Bestimmungen hierüber, die zum Teil auf eigenen theoretischen und empirischen Untersuchungen fußen, kann ich doch an diesem Orte nicht eingehen.

    Hiernach gebe ich in folgender Tabelle (wie immer in metrischem Maße) die zwei größten und zwei kleinsten Werte von h und b, welche in jeder Klasse und Abteilung unter der in Tabelle III angegebenen Zahl m von Bildern vorgekommen sind.

Also betrug z. B. die größte Höhe h, die bei einem Genrebilde h > b vorgekommen ist, 2,23 Meter, die nächst größte 2,15 Meter, die kleinste 0,12 Meter, die nächst kleinste 0,13 Meter, u. s. f.; die absolut größte Höhe (6,66 Meter) und Breite (12,77 Meter) ist bei religiösen Bildern vorgekommen.

    Um ein mittleres Verhältnis zwischen Höhe und Breite für Bilder einer gegebenen Klasse und Abteilung zu haben, könnte man so verfahren, daß man das Verhältnis  oder für jedes einzelne Bild nach Messung seiner Höhe und Breite insbesondre bestimmte und aus diesen sämmtlichen Einzelbestimmungen des Verhältnisses das arithmetische Mittel zöge. Aber abgesehen, daß dazu die, bei vielen Exemplaren ausnehmend mühselige, Bestimmung so vieler Einzelverhältnisse mittelst Division beider einzelnen Dimensionen durch einander gehörte, liegt auch in der Natur der Sache, daß es für Verhältnisse geeigneter ist, sich an das Verhältnismittel derselben, welches in gleichem (zusammengesetzten) Verhältnisse von den einzelnen Verhältnissen überstiegen und unterstiegen wird, als an das arithmetische Mittel zu halten.⁷⁾ Das Verhältnismittel der oder aber kann einfach dadurch erhalten werden, daß man die besonders bestimmten Verhältnismittel der h und b, welche in Tabelle III gegeben sind, durch einander dividiert, indem dies mathematisch genau denselben Wert gibt, als wenn man das Verhältnismittel aus den einzeln bestimmten  oder  selbst zöge, deren Bildung man sich somit erspart. Damit überhebt man sich freilich nicht der Mühe, die Logarithmen der einzelnen h und b zu bestimmen, sofern dies zur Gewinnung der Verhältnismittel der h und b in Tabelle III selbst gehört; aber die Mühe würde eine sehr vermehrte werden, wenn man auch noch die Logarithmen der einzelnen oder zu nehmen hätte, um zum Zweck zu gelangen.

⁷⁾ Dies hat insbesondere den Nachteil, daß es etwas verschieden ausfällt, je nachdem man es aus den oder (als harmonisches Mittel dazu) aus den bestimmt, also zweideutig ist, ein Nachteil, dem das Verhältnißmittel der Verhältnisse nicht unterliegt.

Halten wir uns nun an die, aus Tabelle III divisorisch zu gewinnenden, Verhältnismittel deroder, indem wir zur Vermeidung echter Bruchzahlen für h > b, und für b > h vorziehen, so finden wir folgende Tabelle.

VI. Verhältnismittel vonund

	V.-M.	V.-M.	V.-M.
	h > b	b > h	Kombin.
Genre.	1,250	1,338	1,021
Landschaft.	1,248	1,380	1,282
Stilleben.	1,258	1,388	0,993

    Diese Bestimmungen enthalten das, wie mir scheint sehr interessante, Resultat, daß das Verhältnis der größeren zur kleineren Dimension bei den verschiedensten Bilderklassen denselben (vom goldenen Schnitt sehr abweichenden) Wert hat, — denn die Unterschiede in der Tabelle können als zufällig gelten — einen verschiedenen aber, je nachdem h > b oder b > h. Bei h > b verhält sich die Höhe zur Breite merklich genau wie 5 : 4, bei b > h die Breite zur Höhe ungefähr wie 4 : 3.

    Weiter kann man bemerken, daß, während in den beiden Abteilungen h > b und b > h für sich die Höhe von der Breite in so beträchtlichem Verhältnisse abweicht, hingegen das Verhältnis beider sich in den kombinierten Abteilungen bei Genre und Stilleben fast zur Gleichheit (dem Werte 1) accommodiert. Allerdings könnte man meinen, da h vom b in geringerem Verhältnisse bei h > b als bei b > h abweicht, müßte letzteres in der Kombination den Ausschlag nach seiner Seite geben; aber das kompensiert sich ungefähr dadurch, daß sowohl bei Genre als Stilleben die h > b in größerer Zahl in die Kombination eingehen als die b > h. Bei Landschaften hingegen, wo die b > h an Zahl ungeheuer überwiegen, findet eine solche Kompensation nicht statt.

Bei Genre habe ich die Verhältnismittel  für h > b, und für b > h, noch nach spezialen Richtungen verfolgt. Die Konstanz dieser Verhältnisse erscheint um so merkwürdiger, wenn man sie für die Bilder verschiedener Galerien besonders untersucht, indem man dabei so angenähert dieselben Werte wiederfindet, daß die Abweichung als zufällig gelten kann, wenn nur jede Gallerie oder Zusammenfassung von Galerien eine hinreichende Zahl solcher Bilder darbietet, um der Unsicherheit der Bestimmung nicht zu viel Spielraum zu lassen. Dies beweist sich durch folgende Tabelle, in welcher die Exemplare von solchen Gallerien, die nur eine kleine Anzahl von Genrebildern darboten, zur Mittelziehung zusammengenommen sind.

	h >b		b > h
	m	V.-M.	m	V.-M.
Dresden ........	151	1,276	119	1,334
München a) und b),Frankfurt ..........	126	1,248	103	1,311
Petersburg .......	122	1,236	87	1,337
Berlin a) und b) .....	74	1,220	60	1,362
Paris ..........	62	1,225	82	1,357
Braunschweig, Darmstadt	57	1,243	88	1,322
Amsterdam, Antwerpen	48	1,241	24	1,332
Wien, Madrid, London .	48	1,297	97	1,370
Leipzig a) und b) . . . .	48	1,287	34	1,315
Brüssel, Dijon, Venedig, Mailand, Florenz . . .	39	1,226	38	1,345
	775		702

Auch mit dem absoluten Werte der Breite b scheint sich nach der Untersuchung an Genrebildern das Verhältnis zwischen h und b nicht erheblich zu ändern; sollte aber eine Änderung anzunehmen sein, so würde nach folgenden Ergebnissen mit wachsendem b sich , bei h > b ein wenig verkleinern, und bei b > h vergrößern, alsoüberhaupt sich mit wachsendem b verkleinern. Ich finde nämlich folgende Verhältnismittel aus folgender Zahl m von Exemplaren zwischen folgenden Größengrenzen:

Größengrenzen von b.	h > b		b > h
	m	V.-M.	m	V.-M.
0 — 0,295	274	1,271	42	1,322
0,295—0,495	271	1,232	158	1,287
0,495—0,695	123	1,228	164	1,322
0,695—0,895	54	1,230	98	1,361
0,895—1,095	28	1,277	63	1,372
1,095 u. drüber.	25	1,229	177	1,386
	775		702

    Endlich findet man auch nahe dieselben Verhältnisse wieder, wenn man statt der Verhältnismittelwerte G die arithmetischen Mittel M oder Zentralwerte C von h und b in Tabelle III durch einander dividiert. Weniger trifft es meist bei D' und D zu. Kürze halber übergehe ich eine Spezialisierung in diesen Beziehungen.

Anstatt die, für h und b besonders bestimmten, Hauptwerte der Tab. III mit einander zu dividieren, könnte man nun auch aus den einzeln bestimmten oder  eben so viel Haupt-werte nach denselben Regeln ziehen, nach denen man die Hauptwerte aus den einzelnen h und b zieht, wozu aber, wie schon bezüglich des arithmetischen Mittels bemerkt worden, die mühsame Berechnung so vieler Einzelverhältnisse und Ordnung derselben in eine Verteilungstafel gehört. Inzwischen habe ich eine solche Rechnung bei Genre wenigstens bis zu den Logarithmen der  und  durchgeführt, was zwar noch nicht die Ziehung eines arithmetischen Mittels, aber des Verhältnismittels G, (wozu es zwar bemerktermaßen nicht dieses Weges bedarf.) Zentralwerts C, dichtsten Verhältnismittels D' und einer mittleren Verhältnisabweichung v gestattet; diese Werte ganz in derselben Beziehung zu  oder verstanden, als früher zu den einzelnen h und b. Folgends gebe ich diese Werte, unter Zufügung einiger anderen, von D' abhängigen, d, , d', v, , v', welche erst unter 6) erklärt werden.

	, h > b	, b > h
G	1,250	1,338
C	1,242	1,329
D'	1,214	1,296
v	1,0661	1,1035
d,	274,5	294
d'	502,5	408
v,	0,02291	0,03480
v'	0,03236	0,04933

    Man sieht, daß C und D' etwas kleiner ausfallen als G, was wohl nicht als zufällig anzusehen, indem es in eine, unter 6) zu besprechende, allgemeinere Gesetzlichkeit hineintritt.

    Quadratische Bilder kamen unter den 10558 zur Untersuchung zugezogenen Bildern nur 84, d. i. 1 auf 126 vor. Wie sie bei der Verteilung berücksichtigt worden sind, ist bereits vorstehend angegeben.

    Um zu wissen, wie viel Fläche von einer gegebenen Zahl von Bildern gegebener Klasse und Abteilung gedeckt wird, wird man immer das arithmetische Mittel derselben brauchen; abgesehen von diesem einigermaßen praktischen Interesse aber wird zur Ziehung von Größenvergleichen zwischen verschiedenen Klassen und Abteilungen das Verhältnismittel vorzuziehen sein, sowohl um in Zusammenhang mit der Bestimmung des mittleren Verhältnisses der Dimensionen zu bleiben, wofür bemerktermaßen das arithmetische Mittel nicht wohl brauchbar ist, als, weil man auch hier mit dem Verhältnismittel den Vorteil hat, nicht die einzelnen h b bilden zu müssen, um es hieraus zu ziehen, da man es mathematisch genau eben so findet, wenn man die zu einander gehörigen Verhältnismittel der h und b in Tab. III mit einander multipliziert. So erhält man folgende Werte für die Verhältnismittel der Flächenräume in Quadratmetern.

    Ganz andere, und zwar erheblich größere, Werte erhält man, wenn man die arithmetischen Mittel M von h und b in Tab. III mit einander multipliziert, wie natürlich, da die M allgemein größer als die G sind, indes man aus entsprechendem Grunde durch Multiplikation der C, D' und vollends D von h und b mit einander kleinere Produkte erhält. Doch befolgen diese Produkte für die verschiedenen Klassen und Abteilungen dieselbe Größenordnung.

    Das eigentliche arithmetische Mittel der h b, durch Summierung der einzelnen Werte h b und Division mit der Zahl derselben, habe ich wegen der großen Mühseligkeit seiner Bestimmung bloß für Genre h > b bestimmt und 0,3289 Qu.-M. gefunden, was, wie man sieht, vom oben gefundenen G, , Werte 0,1746 außerordentlich abweicht. Nicht minder weicht es sehr stark von dem Produkte der arithmetischen Mittel der h und b (in Tab. III) ab, welches 0,2371 ist.

    Um sich in leichter Weise von der Möglichkeit einer so großen Verschiedenheit zu überzeugen, nehme man als einfachstes Beispiel nur zwei Bilder, eines mit der Höhe 1, Breite 2, das andere mit der Höhe 10, Breite 20. Das, aus der mittleren Höhe 5,5 und mittleren Breite 11 als Produkt derselben abgeleitete Mittel ist 60,5, das eigentlich arithmetische Mittel ihrer Flächen 2 und 200 ist 101.

Nachdem ich mir einmal die Mühe gegeben, für Genre h > b bis zu den einzelnen h b und bei Genre b > h wenigstens zu den Logarithmen derselben zu gehen, ließen sich überhaupt, analog als für, und , folgende Bestimmungsstücke daraus ableiten, welche prinzipiell und notwendig nur bei G mit den, durch Multiplikation der Hauptwerte aus Tab. III zu erhaltenden, übereinstimmen; doch empirisch auch bei C, D' und v in größter Annäherung damit übereinkommen, wie man sich durch Vornahme der Multiplikation überzeugen kann, während anderseits v, und v', deren Bedeutung aus 6) zu entnehmen sein wird, merklich mit der Summe der v, und v' übereinkommen, die unter 6) für h und b besonders gegeben werden.
 
 

    Unter den gesamten 10558 Bildern, welche in Tab. III eingegangen sind, sind die drei größten im Flächenraum überhaupt drei Bilder von Paul Veronese, sämtlich Gastmale darstellend, bei denen Christus gegenwärtig war, nämlich:

    Wonach der Flächenraum zwischen 0,006734 und 75,9815 Qu. Meter variiert oder das größte Bild 11283 mal das kleinste Bild aufzunehmen vermag.

    Unstreitig fordert der verhältnismäßig regelmäßige Gang der Werte, welcher sich in der Verteilungstabelle II gezeigt hat, auf, das Gesetz oder allgemeiner die Gesetze der Verteilung zu suchen, nach welchen sich bestimmt, wie viel Exemplare gegebener Klasse und Abteilung unter einer gegebenen großen Zahl solcher Exemplare zwischen gegebenen Maßgrenzen der Höhe oder Breite fallen, und nach welchen sich die Verhältnisse der Hauptwerte zu einander regulieren. Nun kann ich die Theorie dessen, was folgends darüber zu sagen, hier nicht entwickeln und ausführen, sondern muß mich auf einige Andeutungen darüber für den mathematisch Sachverständigen, dem die Zufallsrechnung nicht ganz fremd ist, beschränken, nachdem ich schon in der in Abschn. XLIV. Pkt. 1 (in der Anmerk.) erwähnten Abhandlung Einiges darüber gesagt. Hiernach aber werde ich erstens das Faktische der hierher gehörigen, eine allgemeinere Anwendung auf Kollektivgegenstände zulassenden, Gesetze geben, zweitens die empirische Bewährung an unserem Beispiele der Galleriegemälde zeigen, wonach diese Gesetze auch ohne Rücksicht auf die, populär gar nicht darstellbare, Theorie akzeptiert werden dürfen.

    Das Wesentliche dieser Theorie über die Verteilungsweise der Kollektivgegenstände ruht in folgenden Sätzen.

    1) Wo, wie zumeist bei Kollektivgegenständen, eine Asymmetrie der Art besteht, daß die Zahl der positiven und negativen Abweichungen bezüglich des arithmetischen Mittels mehr von einander abweicht, als auf unausgeglichene Zufälligkeiten geschrieben werden kann, findet eine ungleiche Wahrscheinlichkeit der Abweichungen von diesem Mittel statt.

    2) Nach Gründen, welche in der mehrerwähnten Abhandlung (Abschn. XX) besprochen sind, ist von vorn herein wahrscheinlich, daß man, um einfache Verteilungsgesetze zu gewinnen, damit vielmehr auf Verhältnisabweichungen als arithmetische Abweichungen ⁸⁾von einem bestimmten Werte Bezug zu nehmen hat, und dies wird als Voraussetzung in die Theorie eingeführt.

⁸⁾ Seien die Maßwerte der Exemplare eines Kollektivgegenstandes allgemein mit a bezeichnet, und A als Ausgangswert der Abweichungen genommen, so ist nach meiner Bezeichnung a - A eine einfache oder arithmetische Abweichung,eine Verhältnisabweichung, log  = log a – log A eine logarithmische Abweichung des betreffenden a von A (letztere Abweichung kurz so genannt, statt genauer "einfache Abweichung des log a von log A"). Während sich nun das Gausssche Gesetz zufälliger Abweichungen auf arithmetische Abweichungen bezüglich M nach beiden Seiten gleich bezieht, findet es nach den weiter zu gebenden Bestimmungen auch für uns noch Anwendung, wenn man es vielmehr auf logarithmische Abweichungen bezüglich D' (dies in vorigem Sinne als A genommen) bezieht, und für jede Seite insbesondere nach der dafür geltenden mittleren logarithmischen Abweichung v, oder v' verwendet.

    Mit diesen Sätzen hängen nach einem analogen Gange, als ich von Encke in s. Abh. üb. d. Meth. D. kl. Qu. im astronom. Jahrb. f. 1834. p. 264 ff. zur Entwicklung des Gauss’schen Gesetzes für vorausgesetzte Symmetrie der Abweichungen bezüglich des arithmetischen Mittels eingeschlagen finde, und einigen daran sich knüpfenden weiteren Entwickelungen alle folgenden Gesetze mathematisch verfolgbar zusammen, nur daß auf diesen Verfolg hier nicht eingegangen werden kann.

    Nach meinen bisherigen, auf eine Mehrzahl anthropologischer, botanischer, meteorologischer und artistischer Kollektivgegenstände sich erstreckenden, Untersuchungen ist sehr wahr-scheinlich, daß dieselben Gesetze, die hier zum Ausspruch kommen werden, prinzipiell für alle gut definierbaren, exzeptionellen Störungen nicht unterliegenden, Kollektivgegenstände gemeinsam gelten; aber bei Kollektivgegenständen von schwacher Asymmetrie der Abweichungen bezüglich M wie D', und geringer verhältnismäßiger Schwankungsgröße (d. i. wo  klein oder v wenig abweichend von 1 ist) lassen sich diese Gesetze nicht sicher konstatieren, weil die verschiedenen Hauptwerte hier so nahe zusammenfallen, daß ihre gesetzlichen Verhältnisse durch unausgeglichene Zufälligkeiten sich leicht verstecken, und weil dann die Verhältnisse der arithmetischen Abweichungen bezüglich M mit denen der logarithmischen bezüglich D', auf die man bei Berechnung nach Verhältnisabweichungen gewiesen ist, zu nahe übereinstimmen, um den Vorzug der Berechnung mit letzteren vor der Rechnung mit ersteren beweisen zu können. Kollektivgegenstände aber mit so starker Asymmetrie und so starker verhältnismäßiger Schwankung, als unser Gegenstand darbietet, sind selten. Ein nicht minder geeignetes, nur noch nicht eben so vollständig von mir durchgearbeitetes, Beispiel zur Konstatierung unserer Gesetze aber habe ich in den Regenmengen, nach der Höhe gefallenen Wassers bestimmt, gefunden, welche durch eine lange Reihe von Jahren in den sukzessiven Jahrgängen der Biblioth. univ. und den Archives gen. für Genève unter der Rubrik "Eau tombée dans les 24 heures" verzeichnet sind. So weit ich die folgends aufzustellenden Gesetze daran geprüft habe, was freilich noch der Vervollständigung bedarf, finden sich diese darin wieder.⁹⁾ Gewiß merkwürdig, daß so eigentümliche Gesetze, als man folgends aufgestellt findet, Kollektivgegenständen von so ganz verschiedenem Charakter, als Galleriebilder und Regenmengen sind, gemeinsam zukommen können.

    So viel zur Einleitung der folgenden Bestimmungen.

    Da nach Vorigem und Folgendem die Verteilungsrechnung mit Bezug auf den Hauptwert D' logarithmisch zu führen ist, so sind die, in Tafel IV gegebenen Asymmetrie- und Abweichungsbestimmungen bezüglich M und G noch durch solche bezüglich D' zu ergänzen, wozu folgende Tabelle dient. Darin bedeuten d, und d' respektiv die Zahl der negativen und positiven Abweichungen bezüglich D', hingegen v, und v' die mittleren logarithmischen Abweichungen bezüglich D' nach negativer und positiver Seite, so zu verstehen: Heißen a, die Werte, welche kleiner als D' sind, a' die welche größer sind, so ist v, = , d.i. gleich der mit d, dividierten Summe aller negativen logarithmischen Abweichungen bezüglich D', und v' = , d. i. gleich der mit. d' dividierten Summe aller positiven logarithmischen Abweichungen bezüglich D'.

    Man sieht, daß die nach d, und d' zu beurteilenden Asymmetrieverhältnisse bezüglich D' für das zu einander gehörige h und b zwar mehrfach annähernd, aber im Ganzen bei Weitem nicht so gut mit einander stimmen, als es sich früher bezüglich M und G fand, was doch wahrscheinlich nur von der minder sicheren Bestimmbarkeit, die dem D' zukommt, abhängt. Verhältnismäßig größer zeigt sich die Übereinstimmung der Abweichungswerte v, und v' für h und b.

    Wenden wir uns jetzt zu den Gesetzen, um die es sich handelt, indem wir dabei zurückrufen, daß diese Gesetze eine strenge Anwendung bloß auf eine unbestimmbar große Zahl von Exemplaren ohne exzeptionelle Störungen der Verteilung finden, und man hiernach mit einem approximativen Zutreffen derselben zufrieden sein muß.

    l) Das Hauptgesetz, in welchem sich die anderen Gesetze so zu sagen zusammen- und abschließen, und wonach die Verteilungsrechnung unmittelbar zu führen, ist dieses.

    Der ganzen Verteilung liegt das Gauss’sche Gesetz zufälliger Abweichungen, nach welchem sich die Verteilung der Beobachtungsfehler in Abhängigkeit von ihrer Größe richtet, mit den alsbald zu bezeichnenden, freilich sehr wesentlichen, Modifikationen, unter. Das Gausssche Gesetz selbst in seiner eigentlichen Fassung kann für die hier davon zu machenden Anwendungen genügend durch folgende Bestimmungen charakterisiert werden.

    Habe man die mittlere Veränderung e in Bezug zum arithmetischen Mittel M bestimmt, wie oben im Pkt. 3 angegeben ist, und zähle man die Zahl der Abweichungen, welche nach positiver und negativer Seite bis zu einer gegebenen positiven und negativen Grenzabweichung a von M reichen, zusammen, so reichen von den gesamten Abweichungen und mithin abweichenden Werten m

    Die Modifikationen nun, welche dieses Gesetz in Anwendung auf unseren Gegenstand zu erleiden hat, sind diese. Der Ausgang der Abweichungen ist nicht von M, sondern dem, in unten anzugebender Weise zu findenden, D' zu nehmen. Das Gesetz ist nicht auf arithmetische Abweichungen, sondern logarithmische Abweichungen (log D' - log a,) und (log a' – log D') zu beziehen, und für jede beider Seiten nach den dafür besonders geltenden d, , v, und D', v' besonders zu verwerten, wonach z. B. auf negativer Seite Werte bis zu a = 0,8453 v, , auf positiver Seite Werte bis zu a = 0,8453 v' reichen. Dies z. B. auf Genre h, h > b angewandt, so ist nach Tab. III und X (mit Zuziehung einiger Dezimalen mehr, als in diesen Tabellen gegeben sind) log D' hier 0,57465 - 1, v, = 0,13867, d, = 287, und sind mithin 143,5 Werte zu erwarten zwischen D' = 0,37553 als Zahlwert zu 0,57465 - 1, und dem Maßwert, welcher als Zahlwert zum Logarithmus 0,45743 - 1 gehört, der um 0,8453 v, = 0,11722 von log D' ins Negative abweicht, d. i. dem Maßwerte 0,28670. Die Beobachtung (mit Zuziehung der unten anzudeutenden Interpolation eines Intervalls von 0,04 Größe) ließ dafür 145,8 oder 50,8 p. C. statt der normalen 50 p. C. finden. Eine allgemeinere Bewährung ist unten gegeben.

Mit diesem Gesetze stehen aber noch folgende im Zusammenhange.

    2) Es verhält sich d, : d' = v, : v' und ist mithin  .

    3) Mit einer, für die Anwendung auf die Empirie völlig zulänglichen, Approximation gilt die Gleichung

wo p die Ludolfsche Zahl. Hieraus aber folgen unmittelbar die nächsten zwei Gesetze.

    4) Der Wert C liegt stets seiner Größe nach zwischen D' und G, mag G > D' oder G < D' sein, indem sich dies bei einiger Aufmerksamkeit nach voriger Gleichung leicht daraus folgern läßt, daß  ein positiver echter Bruch. Um dies mit der Gleichung zu vereinbaren, muß nämlich G stets weiter und in gleicher Richtung als C von D' obliegen.

    5) Der Wert D' läßt sich aus den Werten G und C nach folgender Gleichung berechnen:

    6) Von anderer Seite her läßt sich beweisen, daß

und hiernach D aus D' und v, berechnen.

    In diesen Sätzen liegen die Grundgesetze der Verteilung, deren Bewährung zu suchen ist.

    Zur Bewährung des ersten, des Hauptgesetzes, nun gilt es, sich entweder vorzugsweise an solche Klassen und Abteilungen zu halten, deren m nicht zu klein ist, und in denen keine zu auffälligen Unregelmässigkeiten vorkommen, oder, ohne Ausschluß von Serien mit irgend-welchen Unregelmäßigkeiten, durch Zusammennehmen der Resultate mehrerer Serien die Störungen möglichst zu kompensieren. Legen wir nun zuvörderst für letzteren Bewährungs-weg die Bestimmung der prozentualen Abweichungszahlen bis zur l., 2., 3. Grenze, so wie weiter oben angegeben ist, unter, bis wohin respektiv 25; 50; 75 p. C. der d,und d' reichen sollen; so erhielt ich aus den Originaltafeln von der Form der Tab. I ¹⁰⁾ zuvörderst für Genre h, h > b als Abweichungszahlen bis zu diesen Grenzen negativerseits 64; 145,8; 215,3; indes d, = 287 war; was 22,3; 50,8; 75,0 statt den normalen Prozenten entspricht; positiverseits 118; 244,5: 374,9, indes d' = 488 war, was 24,2; 50,0; 76,8 prozentual entspricht. Dieselbe Bestimmung habe ich für das h und b jeder der untersuchten Klassen und Abteilungen insbesondre nach ihrem d, , v, , d', v' durchgeführt, nun aber die 4 Abweichungszahlen bis zu gegebener Grenze für die beiden Abteilungen des h und b derselben Klasse jederseits summiert, und hiernach die Prozente der eben so summierten d, und d' bestimmt. (Bei Stillleben, wo bloß h > b vorlag, gab es bloß je 2 Abweichungszahlen jederseits zu summieren.) So erhielt ich bis zu den bestimmten 3 Grenzen (Gr.) statt der normalen Prozente von d, negativerseits und von d' positiverseits folgende beobachtete Prozente für folgende 4 Zusammenfassungen: 1) 4 Serien Genre; 2) 4 Serien Landschaft; 3) 2 Serien Stillleben (h > b); und 4) 4 Kombinationen h und b bei Genre und Landschaft.

    Um auch die Bewährung in der anderen Form für einige der regelmäßigeren Reihen zu geben, so folgt hier die Zusammenstellung der beobachteten Maßzahlen der Tab. II für gegebene Intervalle in einigen Abteilungen von Genre und Landschaft mit den nach unseren Regeln auf Grund einer ausgeführten Tabelle des Gauss’schen Gesetzes berechneten Zahlen,¹¹⁾ wobei sich die Berechnung für das Intervall, in welches D' fällt, aus zwei Teilen zusammensetzt, einer mit d, , v, nach negativer, und einer mit d', v' nach positiver Seite. Hat man die Tabelle des Gauss’schen Gesetzes zur Hand, so kann man nach den in Tab. III und X mitgeteilten Daten die folgends berechneten Werte selbst kontrollieren und auch die übrigen Serien der Tab. II berechnen und die Rechnung mit der Beobachtung vergleichen.

Unstreitig wird man die Übereinstimmung von Beobachtung und Rechnung in vorstehen-den beiden Tabellen befriedigend genug finden.

Zur Bewährung von Satz 2, wonach , kann die Tabelle X dienen, worin die Werte von d, , d', v, , v' nach Beobachtung bezüglich der, in Tab. III verzeichneten, Werte von D' gegeben, und nun freilich auch noch mit Beobachtungsirrtümern behaftet sind. Man wird aber dem Gesetze schon in den Bestimmungen für die einzelnen Klassen und Abteilungen für sich nahe entsprochen finden, nur bald nach der einen bald nach der anderen Seite etwas darum schwankend. Zur möglichsten Ausgleichung dieser Zufälligkeiten summiere man alle d, , d', v, , v' der Tab. X, je 14, für sich, und nehme die Verhältnisse dieser Summen, so hat man

    Die Bewährung des Satzes 3) suchen wir in der Bewährung seiner beiden Folgerungen 4) und 5).

    Was nun 4) anlangt, so findet sich die Bewährung in Tabelle III, sofern C überall der Größe nach zwischen D' und G fällt, mag D' > G sein, wie bei Stilleben h > b, oder D' < G, wie sonst überall.

    Was 5) anlangt, so steht seine Bewährung in Zusammenhang mit der von 6). In Tabelle III sind die Werte D' und D nicht direkt nach Beobachtung gegeben, sondern D' nach 5) aus den beobachteten G und C berechnet, und D nach dem so berechneten D' und dem bezüglich dazu beobachteten v, mittelst 6) berechnet. Also gilt es, diese berechneten Werte von D' und D mit den direkt aus den Beobachtungen folgenden zu vergleichen. Die direkte Bestimmung aus den Beobachtungen hat nun freilich wegen der zufälligen Unregelmäßigkeiten der Verteilung Schwierigkeiten; doch lassen sich trotz derselben so weit angenäherte direkte Bestimmungen für D' und D gewinnen, um die Zulässigkeit der gegebenen Rechnungsregeln für diese Werte danach beurteilen zu können. Fassen wir zuerst D ins Auge.

    Eine ziemlich rohe, doch einfache, Methode direkter Bestimmung von D ist, in den ursprünglichen Verteilungstafeln der betreffenden Klasse und Abteilung, wie solche in einem Probestück für Genre h, h > b in Tab. I vorliegt, die Zahlen von je 5 aufeinanderfolgenden Maßen zusammenzufassen, und dies durch die Reihe der Maße fortzusetzen, (was z. B. in dem angeführten Probestück für das Intervall von 0,29 bis incl. 0,33 gibt 82, von 0,30 bis 0,34 gibt 78 u. s. f.), und von den 5 Maßen, auf welche die Maximumzahl fällt, die mittelste als nahehin dem D entsprechend anzusehen, was in jenem Bruchstück 0,36 als approximatives D finden läßt, indem von 0,34 bis 0,38 (incl.) 87 als Maximumzahl, d. i. größer als in allen nachbarlichen Intervallen, gefunden wird. Wo man nun beim Durchlaufen der Verteilungstafel in solcher Weise bloß auf ein entschieden vorwiegendes Zahlenmaximum stößt, wird man in der Bestimmung des D danach selten stark irren können. Aber häufig kommt man wegen nicht hinreichend durch solche Zusammenfassung ausgeglichener Unregelmäßigkeiten sukzessiv auf mehrere entschiedene Maxima, und dann bleibt unentschieden, bei welchem man D zu suchen hat, am wahrscheinlichsten bei dem größten; doch kann bei nicht sehr großem Übergewicht desselben das wahre D, was eine Ausgleichung der Unregelmäßigkeiten voraussetzt, auch vielmehr bei einem kleineren Maximum oder zwischen ein paar Maximis zu suchen sein, kurz die Lage desselben danach in ziemlich weiten Grenzen unbestimmt bleiben. Heiße diese Methode der Kürze halber die Methode à 5. Viel genauer, aber auch viel umständlicher, als diese Methode ist folgende. Man faßt die Maßzahlen für drei aufeinanderfolgende, eine gewisse Anzahl Maßwerte befassende, gleiche Maßintervalle in drei Summen zahlen besonders zusammen, indem man diese Intervalle so groß und von einem solchen ersten Anfang an nimmt, daß auch beim Fortschritt mit dem Anfang der Intervalle durch die Reihe der Maße, welche in dem ersten begriffen sind, die Maximumsumme immer auf dem mittlern Intervall bleibt, bestimmt hiernach für jeden solchen Anfang die Lage des D innerhalb der drei Intervalle mittelst einer, aus der Interpolationsformel mit zweiten Differenzen leicht ableitbaren, Maximumgleichung nach der approximativen Voraussetzung, daß die Summenzahl jedes Intervalles auf die Mitte desselben gehäuft sei, und nimmt aus diesen Bestimmungen das Mittel. Die nähere Auseinandersetzung dieses Verfahrens, welches leicht auf eine mechanische Ausführung gebracht werden kann, würde hier zu weit führen; ich nenne es kurz das Interpolations-Maximum-Verfahren. — Zur direkten Bestimmung von log D' kann man nicht minder auf beiden Wegen vorgehen, nachdem man zuvor die a auf ihre Logarithmen gebracht und zwischen diesen interpolationsmäßig gleiche Intervalle hergestellt hat. Bezüglich D habe ich beide Verfahrungsweisen, bezüglich log D', woraus sich D' ergibt, bloß das zweite angewandt. Hier nun folgt eine Zusammenstellung der so direkt bestimmten Werte von D und D' mit den in Tabelle III gegebenen, nach Satz 5) und 6) berechneten Werten. Wo sich beim Verfahren à 5 mehrere entschiedene Summenmaxima darboten, sind die daraus folgenden Werte von D neben einander aufgeführt, und das dem größten Summenmaximum entsprechende im Druck hervorgehoben. Bei sehr starken Unregelmäßigkeiten muß man von Bestimmung der dichtesten Werte überhaupt absehen.

    Einzelne starke Abweichungen zwischen Beobachtung und Rechnung abgerechnet, wird man die Zusammenstimmung beider sowohl bezüglich D als D¢ wiederum sehr befriedigend finden, sich aber freilich auch von der ziemlichen Unsicherheit der Methode à 5 überzeugen können, in Betracht der mehrfachen Werte, zwischen denen sie meist schwanken läßt.

Ob die vorigen, auf h und b für sich anwendbaren, Gesetze auch für  und  gelten, unterliegt Zweifeln. Um es zu untersuchen, habe ich mir die Mühe gegeben, die Logarithmen der einzelnen Verhältnisse bei Genre zu bestimmen, und für h > b und b > h in zwei Verteilungstafeln zu bringen, woraus die auf (s o.) gegebenen Bestimmungsstücke abgeleitet sind. Inzwischen finden sich in den Verteilungstafeln einzelne starke Unregelmäßigkeiten, und der Anschluß der nach den bisherigen Regeln berechneten Verteilung an die beobachtete ist sehr unvollkommen. Wahrscheinlich ist hieran der Umstand Schuld, daß die Reihe der wie  nach, Unten mit dem, der quadratischen Bilderform entsprechenden, festen Werte 1 schließt, statt durch Bruchwerte ins Unbestimmte herabzureichen, wie es streng genommen in der theoretischen Voraussetzung liegt. Denn wollte man die Reihe der, h > b bis in echte Bruchwerte fortsetzen, so käme man damit in die b > h hinein, welche nicht mit den ersten vergleichbar sind, und so umgekehrt mit  bei b > h. Möglich jedoch auch, daß dieser Umstand auf die Hauptverteilung von keinem sehr erheblichen Einfluß ist, und die unvollkommene Zusammenstimmung von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängt, die in Verhältnis zu der geringen Variation der  und einen großen Einfluss gewinnen.

Unter Zugrundelegung der (s. o.) gegebenen Werte für die Bestimmungsstücke von  und  fanden sich bei , h > b die vom D' der  (dies nach G und C bestimmt) an gerechneten Prozentzahlen der d, und d' bis zu den drei angenommenen Grenzen respektiv 29,5; 54,6; 75,0 und 26,2; 56,1; 76,4; also zumeist sehr abweichend respektiv von 25; 50; 75; die zweite Regel, wonach d,: d' = v, : v' bestätigt sich nach den Daten (s. o.) bei  schlecht, bei gut. Die Regel 4) trifft beidesfalls zu. Zu den, nach G und C berechneten Werten D' ließ sich wegen der Unregelmäßigkeiten das D' nach Int. Max. bei  nicht wohl bestimmen, indes bei danach der mit dem Rechnungswerte 1,296 sehr nahe stimmende Wert 1,301 gefunden wurde. D ist nicht durch Beobachtung bestimmt worden, da nicht von den Logarithmen der und zu den Zahlen zurückgegangen worden.

Mit größerer Bestimmtheit dürfte man die wesentliche Geltung der für h und b besonders gültigen Gesetze auf die Flächenräume h b übertragen können, für welche die wichtigsten Bestimmungsstücke bei Genre (s. o.) gegeben sind. Denn einerseits findet hier die angeführte theoretische Schwierigkeit nicht statt, anderseits stimmen die beobachteten Verteilungszahlen besser mit den normalen als bei und . In der Tat fanden sich als Prozente der Zahlen d, d' von D' bis zu den drei angenommnen Grenzen bei h > b respektiv 27,2; 50,8; 75,4 und 25,2; 48,5; 75,3; für b > h entsprechend 25,7; 48,9; 77,0 und 26,3; 48,6; 72,2. Die Regel 2) stimmt nach den Werten d, , d', v, , v' bei h > b ziemlich gut, bei b > h minder; die Regel 4) stimmt beidesfalls. Einer Kontrolle der berechneten D'-Werte durch das Int.-Max.-Verfahren standen größere Unregelmäßigkeiten in der Verteilungstabelle im Wege.

Wo die verhältnismäßige Schwankungsgröße klein ist, fällt G merklich mit M, und D' mit D zusammen, und kann man bei der Verteilungsberechnung den logarithmischen Abweichungen bezüglich D' arithmetische Abweichungen bezüglich D substituieren, wodurch sich Manches vereinfacht. In der Tat hat Scheibner (in den Berichten der sächs. Soc. d. Wissensch. (1873) gezeigt, daß man approximativ (ohne Rücksicht auf ein besonderes Verteilungsgesetz) hat , wo q² das Mittel aus den Quadraten der Abweichungen von M ist, q² aber ist mit e² von gleicher Größenordnung. Wo also q² und mithin e² sehr klein ist, fällt G mit M merklich zusammen. Nun kann aber auch v,² nicht anders als sehr klein sein, wenn q² und e² sehr klein sind, weil mit der verhältnismäßigen Kleinheit der Abweichungen bezüglich M und G eine solche bezüglich D' von selbst gegeben ist; diese aber trägt sich auf die Logarithmen über. Also wird dann nach Satz 6) auch die Abweichung des D von D' vernachlässigt werden können. Die Substituierbarkeit arithmetischer für logarithmische Abweichungen hängt an der Proportionalität beider bei verhältnismäßiger Kleinheit der ersten.

    a) Religiöse Bilder, d. s. Bilder mit alttestamentlich und christlich religiösem Inhalt. Hierzu wurden nicht nur Kompositionen mit mehreren Figuren gerechnet, sondern auch selbst einzelne Köpfe und Figuren, wie Christusköpfe, Heiligenbilder, Darstellungen von Märtyrergeschichten, selbst Landschaften mit heiliger Staffage, so daß diese Klasse eigentlich ein schlecht definiertes Sammelsurium ist; daher auch eine sehr unregelmäßige Verteilung nach Maß und Zahl darin statt fand; nur daß auch hier die Verteilungstafeln im Ganzen die so zu sagen papierdrachenartige Form von Tab. II hatten.

    b) Mythologische, d. s. Bilder mit einem Inhalt aus der griechischen und römischen Götter- und Heroenwelt, entsprechend weit gefaßt, daher auch schlecht verteilt.

    c) Genrebilder, im üblichen Sinne, ohne Kriegs- und Jagdszenen.

    d) Landschaften, mit Einschluß von Marinen, doch ohne Hafen- und Städteansichten.

    e) Stilleben, d. s. Bilder mit toten Gegenständen (abgesehen von der dabei ausgeschlossenen Architektur), als wie Zusammenstellungen von Eßwaren, Geräten, ferner Blumen- und Fruchtstücke, mit Ausnahme solcher, welche menschliche Figuren mit einschließen, mit Einschluß aber solcher, in welchen Tiere nebensächlich auftreten.

    Nicht zur Untersuchung zugezogen sind weltlich historische Bilder, Architekturbilder, Porträts, überhaupt die nicht in vorigen Klassen begriffenen Bilder. Überall ausgeschlossen sind Fresken- und Tapetenbilder, Diptychen und Triptychen und solche Tafeln, auf welchen verschiedene Darstellungen in von einander abgegrenzten Abteilungen enthalten waren.

    Natürlich konnte mehrfach Zweifel entstehen, ob ein Bild als Genrebild sollte unter c) mit aufgenommen oder als weltlich historisches Bild bei Seite gelassen werden, ob ein Bild als Landschaft unter d) sollte aufgenommen oder als bloßes Viehstück bei Seite gelassen werden u. s. w.; und gar wohl hätten Andere die zweifelhaften Fälle etwas anders rubrizieren können. Indes kommt hierauf nicht viel an, weil die Unsicherheit immer nur verhältnismäßig wenige Bilder betrifft, so daß die Verhältnisse dadurch nicht erheblich beteiligt werden können. Ein ganz scharfes Trennungsprinzip läßt sich hierbei überhaupt nicht aufstellen; ich bin nach dem Apercu des vorwiegenden Eindruckes der Bilderbezeichnung in den Katalogen gegangen.

    Mehrfach kommen Fälle vor, daß zwei oder gar eine Reihe ihrem Inhalt nach zusammengehöriger Bilder von demselben Formate hinter einander in den Katalogen aufgeführt sind. So kommen in der dritten Partie des Louvre-Kataloges École francaise p. 342 ff. von no. 525 bis 547 unter dem Gemeintitel "Les principaux traits de la vie de St. Bruno" 22 Bilder von Le Sueur vor, welche, mit Ausnahme von no. 533, alle dieselben Dimensionen, h =1,93 ; b = 1,30 Meter haben.

    Es entstand die Frage, ob in solchen Fällen alle Exemplare als ein einziges nur einmal, oder so oft als sie vorkamen, in die Verteilungstafel aufgenommen und verrechnet werden sollten.

    Käme es nun darauf an, was aber wenig Interesse haben dürfte, die faktischen Mittelwerte der, in gegebenen Gallerien enthaltenen, Bilder von gegebener Art und die faktischen Verteilungsverhältnisse zu bestimmen, so könnte natürlich nur letzteres Verfahren eingehalten werden; aber da man nicht darauf zu rechnen hatte, daß in anderen Gallerien dieselben Dimensionen durchschnittlich in demselben Verhältnis wiederkehrten, so würde man auf diese Weise einen unangemessenen Beitrag zur allgemeinen Mittelbestimmung erhalten und die allgemeinen Verteilungsverhältnisse dadurch wesentlich alteriert finden. So fanden sich in den 22 Gallerien folgende Zahlen religiöser Bilder in folgenden Größenintervallen der Höhe
 
 

welche Zahlen nahe übereinstimmen, wie bei aneinandergrenzenden Intervallen zu erwarten. Aber hierbei sind sämtliche 22 Sueur’sche Bilder von 1,93 Meter Höhe nur zweimal gerechnet, hätte man sie 22-mal rechnen wollen, so hätte man statt der aufeinanderfolgenden Zahlen 91; 89; 93 erhalten: 91; 109; 93; was die Verteilung sehr unregelmäßig gemacht haben würde. Entsprechend in anderen Fällen. Da nun aber eine Mehrzahl zusammengehöriger Bilder von denselben Dimensionen immerhin eine gewisse starke Bevorzugung dieser Dimensionen voraussetzt und mithin ein vermehrtes Gewicht in Anspruch nimmt, so habe ich mich kurz und rund entschlossen, alle Fälle, wo 2 oder mehr zusammengehörige Bilder von denselben Dimensionen vorhanden waren, 2-mal, aber nicht mehr als 2-mal, in der Verteilungstafel zählen zu lassen.

    Wenn die Gesamtzahl der in Untersuchung genommenen Bilder zu 10558 angegeben ist, so ist diese Zahl insofern nicht streng, als nach voriger Bemerkung von einer größern Zahl zusammengehöriger Bilder von gleichen Dimensionen überall eben nur zwei in Rechnung genommen sind, anderseits aber Landschaftsbilder, in welchen religiöse oder mythologische Staffage vorkommt, sowohl bei den Landschaftsbildern als religiösen oder mythologischen Bildern, also doppelt aufgenommen, sind. Da jedoch der Einfluß beider Umstände überhaupt nicht beträchtlich und überdies von entgegengesetzter Richtung ist, bleibt obige Zahl nahe genug zutreffend.