§ 180. [Es unterliegt keinem Zweifel, daß die Fehlerreihen K.-G. darstellen, welche die nämliche Behandlung wie die K.-G. der vorstehenden Kapitel gestatten. Es ist jedoch fraglich, ob es einerseits prinzipiell geboten sei, andererseits in der Erfahrung sich vorteilhaft zeige, hierfür die Methoden der kollektiven Asymmetrie in Anwendung zu bringen, oder ob nicht vielmehr die Voraussetzung wesentlicher Symmetrie theoretisch und empirisch zu Grunde zu legen sei. Nachdem diese Frage in § 8 offen gelassen worden ist, soll sie hier ihre Beantwortung finden. Dabei ist die Trennung des theoretischen Standpunktes vom empirischen nicht müßig. Denn bei prinzipieller Geltung der Asymmetriegesetze wird zwar die Anwendung derselben stets auch empirische Vorteile mit sich führen, wenn nur die Behandlung eine hinreichend scharfe ist, um die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem dichtesten Werte bestehende Differenz hervortreten zu lassen. Es ist aber denkbar, daß das zweiseitige G. G., selbst wenn es nicht von der Theorie gefordert wird, dennoch in der Erfahrung sich bewähre, insofern es – vergl. § 95 – den empirisch verschiedenen m' und m, bez. D Rechnung trägt, wogegen nach einfachem G. G. an Stelle der gleichfalls empirisch verschiedenen m ' und m,bez. A beiderseits ½m zu setzen ist.]

    [Zur Erledigung der hauptsächlich interessierenden theoretischen Seite der gestellten Frage ist die Asymmetrie von Fehlerreihen zu untersuchen, wozu ein System gleichartiger, den nämlichen Bedingungen unterliegender Reihen von Beobachtungswerten am besten sich eignet. Etwaige bloß empirisch hervortretende Vorteile ferner werden sich zeigen, wenn sowohl das zweiseitige als auch das einfache G. G. an den Verteilungstafeln von Fehlerreihen vergleichsweise erprobt wird; hierbei wird man Reihen mit großem m bevorzugen, weil zu erwarten ist, daß solche die typische Form der Fehlertabellen in möglichster Reinheit zur Entwicklung kommen lassen.]

    [Dem einen wie dem anderen Zwecke genügen die in diesem Kapitel untersuchten Reihen astronomischer Beobachtungsfehler, die mir von dem Observator der Sternwarte zu Straßburg, Herrn Dr. KOBOLD, zugleich mit folgenden Angaben über die Herkunft derselben mitgeteilt wurden.]

    [Zu Grunde liegen Beobachtungen am REPSOLD'schen Meridiankreise der Sternwarte, die in den Jahren 1884–1886 von einem und demselben Beobachter angestellt wurden. Eine solche Beobachtung soll einesteils den Zeitpunkt feststellen, in welchem der beobachtete Stern durch den Meridian geht, anderenteils die Zenitdistanz bestimmen, in welcher der Durchgang stattfindet. Sie ist sonach aus zwei verschiedenen Akten zusammengesetzt. Der erste Akt besteht, da die Durchgangszeit elektrisch registriert wird, in einem Druck auf den Taster in dem-jenigen Augenblicke, in welchem der Stern einen Vertikalfaden des Instrumentes passiert. Er kann, da dreiundzwanzig solcher Vertikalfäden vorhanden sind, entsprechend oft wiederholt werden, wodurch jedesmal der zugehörige Zeitpunkt fixiert wird. Der zweite Akt dient der genauen Einstellung des Instrumentes, sobald der Stern dem mittleren der 23 Fäden sich nähert. Bezüglich seiner Ausführung ist folgendes zu. bemerken. Die Einrichtung des Instrumentes war eine von der gewöhnlichen abweichende, indem die Feineinstellung in Zenitdistanz nicht (wie üblich) mittelst eines Schlüssels ausgeführt, sondern durch einen Kettenlauf vermittelt wurde, der um einen am Klemmarme des Instrumentes befindlichen Knopf lief und, da der Klemmarm in fester Verbindung mit dem Instrumente war, stets in unmittelbarer Nähe des Okulars sich befand. Beide Akte können daher ohne jede gegenseitige Störung ausgeführt werden, wenn das Instrument diejenige Lage hat, in welcher die Klemme auf der Ostseite sich befindet. Dann kann nämlich der Beobachter in der rechten Hand den Taster halten und mit der linken die Feineinstellung besorgen. Hat jedoch das Instrument die entgegengesetzte Lage, so tritt ein Konflikt zwischen beiden Akten insofern ein, als die Einstellung in Zenitdistanz zum Ablegen des Tasters nötigt, der erst nach Ausführung derselben wieder aufgenommen werden kann, um die Durchgangszeit für den Mittelfaden zu registrieren. Hierdurch tritt eine bei verschiedenen Beobachtern verschieden starke Verspätung ein, so daß die Beobachtung für den Mittelfaden durch die Feineinstellung in Zenitdistanz gestört wird. Die beiden Lagen des Instrumentes werden durch die Bezeichnungen "Klemme Ost" und "Klemme West" unterschieden. – Noch ist zu bemerken, daß dieser Konflikt nicht eintreten würde, falls ein Beobachter imstande sein sollte, mit der einen wie mit der anderen Hand gleich sicher zu registrieren, und daß ferner die bezeichneten Verhältnisse gerade umgekehrt liegen würden, wenn der Beobachter mit der linken statt mit der rechten Hand zu registrieren gewohnt wäre.

    [Von diesen Beobachtungen wurde der auf die Bestimmung der Durchgangszeit sich beziehende Teil benutzt, um die Distanzen der erwähnten Vertikalfäden, d. i. die Zeit, deren ein Stern im Äquator zum Durchlaufen des Intervalles zweier Fäden bedarf, zu berechnen. Die Fäden wurden der Reihe nach durch die Nummern 1 bis 23 markiert. Bestimmt wurden die Distanzen zwischen dem Mittelfaden 12 und den Fäden 2 , 5 , 6 , 10 , 14 , 18 , 19 , 22 ; sie werden als Fadendistanzen 2 – 12 ; 5 – 12 u. s. w. bezeichnet. Das Beobachtungsmaterial ferner wurde in vier Gruppen geteilt, da einerseits – nach obigen Bemerkungen – die Instrumentlage Klemme Ost von der Lage Klemme West mit Rücksicht auf die gleichzeitig vorzunehmende Bestimmung der Zenitdistanz sich unterscheidet, und andererseits außer den in der Mehrzahl vorhandenen Nachtbeobachtungen auch Tagbeobachtungen vorlagen, bei welchen andere Beleuchtungsverhältnisse obwalten. Allerdings konnte durch Vermeiden des Mittelfadens 12 , der allein bei der Störung durch die Feineinstellung in Zenitdistanz in Betracht kommt, der Unterschied zwischen den beiden Lagen Klemme Ost und Klemme West im wesentlichen beseitigt werden; und in der Tat ergaben die nämlichen Beobachtungsreihen die Distanzen gegen den Faden 2 in beiden Lagen übereinstimmend. Es schien jedoch gerade von Interesse, jenen Unterschied beizubehalten, um einen etwaigen Einfluß desselben auf die Resultate der folgenden Untersuchung beobachten zu können. Zur Beurteilung der verhältnismäßig großen Beobachtungsfehler ist ferner zu bedenken, daß die Beobachtungen, weil sie zur Ermittelung der Fadendistanzen dienen sollten, aus dem über mehrere Jahre sich erstreckenden Material so ausgewählt sind, daß die verschiedenen Verhältnisse möglichst zur Geltung kommen. Hätte man den mittleren Beobachtungsfehler bestimmen wollen, so wären zeitlich nahe bei einander gelegene Beobachtungen zu wählen gewesen.]

    § 181. [Das zur Verfügung gestellte Material besteht sonach aus vier Gruppen, die wie folgt bezeichnet werden: ^:

Aus diesen Beobachtungsreihen lassen sich folgende Elemente für die acht Fadendistanzen gewinnen:

Hier stellen die A die gesuchten Fadendistanzen dar, indem sie als die arithmetischen Mittel aus den m Beobachtungswerten zugleich die wahrscheinlichsten Werte bezeichnen, falls das einfache G. G. als zutreffend anzusehen ist. Diese Werte weichen für die verschiedenen Gruppen von einander ab, was zunächst wegen der Endlichkeit der m , die der Bestimmung unterliegen, nicht anders zu erwarten ist, außerdem aber auch durch den zwischen den Lagen Klemme Ost und West bestehenden Unterschied bedingt wird. Denn in den Gruppen gund dsind die vier ersten Distanzen durchweg größer, die vier letzten in der Mehrzahl der Fälle kleiner als die entsprechenden Distanzen der Gruppen aund b, wie es bei der verspäteten Fixierung des Durchganges durch den Mittelfaden in der Lage Klemme West vorauszusetzen ist. Das Entsprechende zeigt der Vergleich obiger Werte mit den von Herrn Dr. KOBOLD ¹⁾ aus anderweitigen Beobachtungen mit größerer Zuverlässigkeit gewonnenen Werten, die der folgenden Zusammenstellung zu entnehmen sind:
 

Die h geben als Mittelwerte der Differenzen zwischen den beobachteten Werten und den A die einfachen Durchschnittsfehler an. Dieselben zeigen innerhalb der einzelnen Gruppen nur geringe Schwankungen, wonach die acht Fehlerreihen jeder Gruppe ein gleichartiges System bilden, wie schon auf Grund ihrer Entstehung anzunehmen war. Die Schwankungsweite der Fehler ist aus den Differenzen der oberen und unteren Extreme E' und E ,zu ersehen; sie beträgt nur für die Fadendistanz 2 – 12 der Gruppe a0^s,95 ; die Größe dieses Wertes ist aber wesentlich durch den Betrag der oberen extremen Abweichung U' = 0^s,66 bedingt, der den durchschnittlich zu erwartenden Betrag erheblich übersteigt und als abnorm zu betrachten ist.]
 

    ¹⁾ [Vergl. Annalen der Kaiserl. Universitäts-Sternwarte in Straßburg; I. Bd. 1896. S. XXII: Die Fadendistanzen und die Winkelwerte der Schraube.]
 

    [Vor Allem aber interessieren die Werte der u und im Zusammenhange damit diejenigen der U' - U,, da sie eine Beantwortung der Frage gestatten, ob die Asymmetrie der Fehlerreihen als wesentliche oder unwesentliche zu gelten habe. Nun sind die u -Werte durchweg sehr klein und besitzen in ungeregelter Folge bald positives, bald negatives Vorzeichen. Entsprechendes ist von den Differenzen U' - U, zu sagen, die nur in der Gruppe akeinen Wechsel zwischen den Vorzeichen auf weisen und hier nur in dem einen Werte 0^s,37 zu einer bedeutenden Höhe ansteigen, der nach den obigen Bemerkungen bezüglich der zugehörigen oberen extremen Abweichung nicht in Betracht kommen kann. Hieraus folgt mit Entschiedenheit der Schluß, daß keine wesentliche Asymmetrie vorhanden ist. Eine Bestätigung hiervon kann man überdies darin finden, daß nur in 18 unter 32 Fällen die Vorzeichen von u und U' - U, einander entgegengesetzt sind, und somit das Umkehrgesetz der Asymmetrie zwischen der Differenz der Abweichungszahlen und derjenigen der extremen Abweichungen bez. A sich nicht bewährt, während dasselbe bei vorwaltender wesentlicher Asymmetrie erfahrungsgemäß Geltung hat.]

    § 182. [Es ist sonach kein Grund vorhanden, für die Fehlerreihen die Prinzipien der kollektiven Asymmetrie in Anwendung zu bringen. Um jedoch zu zeigen, daß auch bezüglich der Übereinstimmung zwischen Theorie und Erfahrung mit der Anwendung des zweiseitigen G. G. keine Vorteile gegenüber dem einfachen Gesetze verknüpft sind, gebe ich im Folgenden Vergleichstabellen in solcher Form, daß den empirischen Werten sowohl die nach einfachem G. G. bez. A als auch die nach zweiseitigem G. G. bez. D berechneten theoretischen Werte zur Seite stehen. Die empirischen Werte wurden aus den vier Gruppen von je acht Beobachtungsreihen in der Weise gewonnen, daß zunächst in jeder Beobachtungsreihe die beobachteten Werte durch ihre Differenzen mit dem zugehörigen A d. i. durch die Beobachtungsfehler D ersetzt und sodann die acht Fehlerreihen jeder Gruppe zu einer einzigen Reihe zusammengelegt wurden. Den vier Gruppen a, b , g , dentsprechend entstanden so vier Fehlerreihen, die als die Reihen a, ß , g , d bezeichnet werden sollen. Das Zusammenlegen der ursprünglichen Reihen unterlag keinem Bedenken, da sie auf Grund der Übereinstimmung zwischen den zugehörigen Durchschnittsfehlern hals gleichartig sich erwiesen hatten.]

    [Bei Reduktion auf ein i = 0^s,05 erhält man so folgende Resultate:
 
 

In denselben zeigt sich überall eine so weit gehende Übereinstimmung zwischen den theoretischen Werten des symmetrischen und des asymmetrischen Verteilungsgesetzes, daß es belanglos erscheint, welches von beiden man zu Grunde legen will.]

    [Dann wird aber der Vorzug der Einfachheit zu Gunsten des symmetrischen Gesetzes den Ausschlag geben, wobei noch ins Gewicht fällt, daß man zur Berechnung der Elemente nicht auf reduzierte Tafeln zurückgehen muß, sondern den primär bestimmten Durchschnittsfehler hoder (quadratischen) Mittelfehler q bei der Verteilungsrechnung benutzen kann. Im vorliegenden Falle erhält man so aus den primären Verteilungstafeln für die hder Reihen a, ß , g , d respektiv 0^s,0937 ; 0^s,0738 ; 0^s,0906 ; 0^s,0911 , was zu folgender Vergleichstabelle zwischen Theorie und Erfahrung führt:
 

Hier müßte das durch 0,00 bezeichnete Intervall mit den Grenzen ± 0,025 verdoppelt werden, um mit den anderen Intervallen direkt vergleichbar zu sein, so daß natürlich der theoretische Maximalwert stets auf den Nullwert fällt]

    [Indem nun in der Theorie und Erfahrung das zweiseitige G. G-. zwar als anwendbar sich zeigt, aber keinen Vorteil vor dem einfachen G. G. bietet, wird man es als ein charakteristisches Merkmal der Fehlerreihen betrachten dürfen, daß ihre Asymmetrie eine bloß unwesentliche, in den unausgeglichenen Zufälligkeiten begründete ist. Man könnte hiernach, falls man um ein Kriterium für die Beurteilung von Fehlerreihen verlegen wäre, geradezu die Asymmetrie als ein solches benutzen und den Grundsatz aufstellen, daß Fehlerreihen mit den Merkmalen wesentlicher Asymmetrie zu verwerfen seien.]