XIII. Mathematische Verhältnisse der Verbindung von wesentlicher und unwesentlicher Asymmetrie.


    § 96. Sei irgend, ein Wert H als Ausgangswert der Abweichungen genommen, und bestehe asymmetrische W. (wesentliche Asymmetrie) bezüglich desselben, so würde ohne Zutritt unausgeglichener Zufälligkeiten (zufällige Asymmetrie) der Unterschied u zwischen den beiderseitigen Abweichungen einfach proportional mit der Vergrößerung oder Verminderung resp. wachsen oder abnehmen. In der Tat sei er bei einem gegebenen Ausgangs-m gleich x , so würde er bei n-maliger Wiederholung der Beobachtung an jedesmal neuen Exemplaren desselben Gegenstandes denselben Wert x n-mal erreichen, mithin auch bei Zusammensetzung der n Beobachtungsreihen zu einer einzigen kontinuierlichen der Unterschied x in nx übergehen. Wenn dagegen die wesentliche Asymmetrie ganz wegfiele, und der Unterschied bloß von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhinge, so würde, wenn wir beim Ausgangs-m den Unterschied y fänden, dieser Unterschied bei n-fachem m nicht gleich ny werden können, weil die Richtung und Größe des Unterschiedes bei den Wiederholungen zufällig wechselt, und, wenn schon allgemein gesprochen ein Übergewicht, unbestimmt nach welcher Seite, bleibt, ändert sich dieses, also der definitive Unterschied, solange man sich in großen Zahlen von Abweichungen bewegt, und durchschnittlich auch bei kleinen Zahlen, nach bekanntem Prinzip statt im Verhältnis n vielmehr im Verhältnis  . Führen wir nun das zu ver-n-fachende m als Einheit der Ver-n-fachung ein und bezeichnen die von der Größe des n abhängigen Werte mit n als Index, so werden wir zu setzen haben1):

für den Fall bloß wesentlicher Asymmetrie:

un = nx1 (1) für den Fall bloß unwesentlicher Asymmetrie:
(2)
und für den Fall des Zusammentreffens beider:
(3)


wobei y1 allgemein gesprochen mit x1 gleichen oder ungleichen Vorzeichens sein kann; denn während x beim Übergange aus x1 in nx1 seine, sei es positive oder negative, Rich-tung beibehält, kann y1 beim Übergange in y1 nach Zufall seine Richtung beibehalten oder wechseln, ohne daß eine allgemeine Entscheidung dazwischen vorliegt; und nehmen wir y1 nach absolutem Werte, so werden wir mit Rücksicht auf diese Zweifelhaftigkeit zu setzen haben:

(4)
und beim Ausgangs-m selbst, wo n = 1 , u1 = x1 ± y1 . (5) Setzen wir jetzt einmal n = 100, ein andermal = 1 : 100, so werden wir respektiv erhalten: u100 = 100x1 ± 10y1 , (6) . (7) Also bei Verhundertfachung des Ausgangs-m ist nach (6) das Ausgangs-x auf das 100-fache, das Ausgangs-y bloß auf das 10-fache gesteigert, und sollte n ins Unbestimmte vergrößert werden, so würde das definitive y , d. i. der von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängige Unterschied, gegen den von wesentlicher Asymmetrie abhängigen x ganz verschwinden; umgekehrt ist nach (7) bei Herabsetzung des Ausgangs-m auf 1 : 100 das Ausgangs-x auf 1 : 100, das Ausgangs-y bloß auf 1 : 10 herabgekommen, und ersteres würde bei weiterer Verkleinerung von m gegen letzteres merklich ganz verschwinden können, was nur insofern nicht ganz parallel mit der Vergrößerung von m geht, als m ins Unendliche vergrößert, aber nur bis auf 2 verkleinert werden kann, soll überhaupt noch ein Unterschied u bestehen. Allgemein aber folgt hieraus, daß die wesentliche Asymmetrie leichter bei großem, die unwesentliche bei kleinem m überwiegt, sofern wir jenes als ein in starkem Verhältnisse vergrößertes, dieses als ein in starkem Verhältnisse verkleinertes Ausgangs-m , welches man immer dafür nehmen möge, betrachten können, wovon natürlich das Bedürfnis abhängt, ein möglichst großes m anzuwenden, um die wesentliche Asymmetrie möglichst ungestört von unwesentlicher zu erhalten.
 
 

    1) Der Wert x hat hier konsequent mit obiger Bezeichnungsweise den Index 1, sofern er den beim Aus-gangs-m, wo n = 1, stattfindenden Wert von x bezeichnet, entsprechend mit y. [Auch ist zu beachten, daß Formel (3) nur die schematische Darstellung der Mischung von wesentlicher und unwesentlicher Asymmetrie geben will, ohne zu besagen, dasß y1 denselben Wert wie in (2) repräsentiert. In der Tat sind beide Werte verschieden. Denn das auf unwesentlicher Asymmetrie beruhende Glied y1 ist nichts weiter als die nach W. zu erwartende durchschnittliche Schwankung des Wertes von u n , während das in der wesentlichen Asymmetrie begründete Glied nx1 den wahrscheinlichsten. Wert von u n darstellt; die durchschnittlich zu erwartende Schwankung um den wahrscheinlichsten Wert ist aber von dem letzteren abhängig und besitzt mithin verschiedene Werte, je nach-dem der wahrscheinlichste Wert gleich Null ist oder eine endliche Größe darstellt. Vergl. hierzu den Zusatz zum folgenden Kap, (§ 101).]