XII. Gründe
dafür, daß wesentliche Asymmetrie der Abweichungen bezüglich des arithmetischen Mittels und Gültigkeit des asymmetrischen Verteilungsgesetzes bezüglich des dichtesten Wertes D im Sinne des verallgemeinerten Gauss'schen Gesetzes (Kap. V) der allgemeine Fall sei.

    § 93. Gemäß dem (§ 4) gemachten Unterschiede zwischen wesentlichen und unwesentlichen Bestimmungen kann man geneigt sein, auch eine wesentliche und unwesentliche (oder zufällige) Asymmetrie der Abweichungen bezüglich eines Hauptwertes, wie des arithmetischen Mittels oder dichtesten Wertes, zu unterscheiden. Richten wir hier die Betrachtung in dieser Hinsicht zunächst auf das arithmetische Mittel A . Gewiß ist, daß selbst bei symmetrischer W. der Abweichungen bez. A durch unausgeglichene Zufälligkeiten ein Unterschied zwischen dem Abstande der Extreme E' , E,von A und ein Unterschied u zwischen der Zahl der beiderseitigen Abweichungen µ' und µ,hervorgehen kann, und so kann man nach Merkmalen fragen, wodurch sich eine wesentliche Asymmetrie bez. A , die nicht von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängt, von einer unwesentlichen oder zufälligen, die davon abhängt, unterscheidet. Abgesehen nun von den in Kap. II angegebenen allgemeinen, etwas unbestimmten Merkmalen, wodurch wesentliche von unwesentlichen Bestimmungen zu unterscheiden sind, kann man hierbei darauf fußen, daß der durch bloße unausgeglichene Zufälligkeiten entstehende Unterschied u zwischen µ' und µ,einer Wahrscheinlichkeitsbestimmung fähig ist, und daß sich die wahrscheinliche Größe desselben angeben läßt. Nach Maßgabe nun, als dieser wahrscheinliche Unterschied überschritten wird, wird es unwahrscheinlicher, daß die Asymmetrie eine bloß zufällige sei, und gibt es selbst Regeln, den Grad der Unwahrscheinlichkeit zu bestimmen, ohne daß freilich eine absolute Gewißheit hierbei erreichbar ist; worüber ich auf die Bemerkungen in § 31 (historisch) zurückweise und auf die Wahrscheinlichkeitsformeln des XIV. Kapitels verweise. Und so könnte man als leitenden Gesichtspunkt nach vorwiegender Wahrscheinlichkeit aufstellen, nur solche Fälle der Asymmetrie bezüglich A für wesentlich zu halten und eine Bewährung der Gesetze wesentlich asymmetrischer Verteilung dafür zu suchen, wo der bezüglich A sich ergebende wahrscheinliche Wert von u nicht unerheblich überstiegen wird.

    In der Tat habe ich von vornherein die Sache so gefaßt, aber mich nachmals überzeugt, wie schon in § 32 bemerkt, daß diese, zunächst so natürlich, ja geboten erscheinende Auffassung gänzlich den richtigen Gesichtspunkt verfehlt. Sie würde haltbar sein, wenn die symmetrische W. der Abweichungen bezüglich A der allgemein vorauszusetzende Fall wäre, und nur, wie man vom Anfange herein voraussetzen konnte und noch von QUETELET vorausgesetzt wird, Ausnahmen erlitte, die besonders herausgesucht und rechnend behandelt sein wollten. Anders stellt es sich aber, wenn vielmehr im Sinne der schon vorgreiflich ausgesprochenen Ansicht die wesentliche Asymmetrie der allgemeine Fall ist, welcher unter den unzähligen Graden, in welchen die Asymmetrie vorkommen kann, den, wo sie verschwindet, nur als besonderen, in aller Strenge vielleicht nie vorkommenden Fall enthält.

    § 94. Dann ist ein prinzipieller Unterschied zwischen wesentlicher und unwesentlicher Asymmetrie gar nicht zu machen; alle K.-G. dürfen, ja müssen unter der Voraussetzung der asymmetrischen W. behandelt werden, mit Rücksicht nur, daß bei endlichem m wegen unausgeglichener Zufälligkeiten die Größe und Richtung der Asymmetrie zufällig von derjenigen abweichen kann, welche bei unendlichem m sich als wesentliche herausstellen würde; und der durchschlagende Grund, es so zu fassen, ist, daß selbst in den Fällen, wo nach den vorliegenden Wahrscheinlichkeitsformeln die Asymmetrie bezüglich A möglicherweise nur zufällig sein könnte, die in § 33 angeführten Gesetze der Asymmetrie sich in einer mir selbst unerwarteten Allgemeinheit bestätigen.

    Nun gestehe ich allerdings, daß es mir selbst befremdend erschienen ist, und überhaupt ein Rätsel darin gefunden werden kann, daß bei so schwacher Asymmetrie, wie sie vielfach bei den K.- G. des VII. und VIII. Kap. vorkommt, in Konflikt mit den unausweichlichen Zufälligkeiten wegen Endlichkeit des m , doch die oben aufgestellten Gesetze der Asymmetrie sich mit merkwürdiger Allgemeinheit und Approximation bestätigen.

    Nehmen wir z. B. die Schädeldimensionen. 450 Exemplare europäischer Schädel geben für den Vertikalumfang (bei i = 5 mm E,= 368) 220 negative, 230 positive Abweichungen von A2 , dieselben Schädel für den horizontalen Umfang unter entsprechenden Verhältnissen gar 226 negative, 224 positive Abweichungen, Unterschiede, die viel zu unbedeutend sind, um nicht von unausgeglichenen Zufälligkeiten überwuchert zu werden; und doch geben diese Fälle, sowie zahlreiche andere von gleicher Ordnung der Unterschiede, nicht minder gute Bestätigungen der aufgestellten Asymmetriegesetze als die Beispiele von stärkerer Asymmetrie, was ich mir bisher nur so zu erklären weiß, daß die verschiedenen Elemente, auf deren Verhältnisse sich die betreffenden Gesetze beziehen, von den unausgeglichenen Zufälligkeiten im Zusammenhange betroffen, hieraus in gleicher Richtung und nahehin um gleiche Größen oder in gleichem Verhältnis abgeändert werden, so daß vielmehr nur die absoluten Größen als die gesetzlichen Unterschiede oder Verhältnisse der Elemente darunter leiden, womit nicht behauptet ist, daß diese gleiche oder proportionale Änderung genau erfolge, sondern nur so weit, daß der Spielraum, den die Gesetze noch übrig lassen, nicht überschritten wird. Diese Auffassung mag noch einer gründlicheren mathematischen Diskussion bedürftig sein; in Erwartung einer solchen bleibt jedenfalls die Tatsache bestehen, daß selbst die schwächsten Grade der Asymmetrie bezüglich A den aufgestellten Verteilungsgesetzen der Asymmetrie noch ihre Gültigkeit bewähren und dadurch selbst beitragen, die Allgemeinheit einer mehr als bloß zufälligen Asymmetrie zu beweisen1).
 

1) [Man vergl. hierzu die theoretische Ableitung des asymmetrischen Verteilungsgesetzes §136, wonach die Hauptwerte sich nur um Größen von der Ordnung i oder 1 : unterscheiden, welch letztere so klein vorauszusetzen sind, daß ihre Quadrate i2 oder 1 : m endlichen Größen gegenüber, vernachlässigt werden dürfen.]
 
 

    Besteht nun aber eine solche im angegebenen Sinne für die K.-G., so ist die Anwendung mathematischer Wahrscheinlichkeitsformeln zur Unterscheidung wesentlicher und unwesentlicher Asymmetrie eigentlich müßig. Möchte immer für Gegenstände von schwacher Asymmetrie dadurch nachweisbar sein, daß die Asymmetrie bezüglich A möglicherweise nur zufällig sein könnte; was ist damit getan, wenn die faktische Untersuchung beweist, daß sie den Gesetzen wesentlicher Asymmetrie gehorchen; indes, da diese Formeln doch ein gewisses theoretisches Interesse für unser Gebiet behalten, will ich in den folgenden Kapiteln darauf eingehen ohne folgends praktischen Anlaß zu haben, darauf zu fußen.

    § 95. Stelle ich nun überhaupt die Gründe zusammen, welche uns zu veranlassen haben, statt einer wesentlichen Symmetrie eine wesentliche Asymmetrie bezüglich A und eine Verallgemeinerung des G. G. im Sinne der § 33 angeführten Gesetze zuzulassen, so sind es folgende.

    1) Da es jedenfalls Fälle eines so großen u : m gibt, bei denen man nach weit überwiegenden Wahrscheinlichkeitsgründen nicht umhin kann, das Vorhandensein wesentlicher Asymmetrie bezüglich A zuzulassen, so kann der allgemeine Fall keinesfalls in wesentlicher Symmetrie bez. A gesucht werden; wohl aber, wenn überhaupt etwas Allgemeines für K.-G. in dieser Beziehung gelten soll, in wesentlicher Asymmetrie, worunter wesentliche Symmetrie und schwache Asymmetrie als besondere Fälle treten.

    2) Wenn man einen und denselben K.-G. einer vergleichenden Verteilungsrechnung nach dem für wesentliche Asymmetrie geltenden, zweispaltigen GAUSS'schen Verteilungsgesetze (§ 33) und dem für wesentliche Symmetrie geltenden, einfachen GAUSS'schen Verteilungsgesetze (§ 24 flgd.) unterzieht, so ist die erstere Verteilungsrechnung von vornherein dadurch im Vorteil, daß sie das empirisch verschiedene m', m, bez. D beiderseits genau wiedergibt, wogegen letztere für das empirisch verschiedene µ¢, µ,bez. A denselben Wert ½(µ' + µ,) = ½m gibt, der also für die eine Seite um ebensoviel gegen die empirische Abweichungszahl zu groß als auf der anderen zu klein ausfallen muß. Dieser im Prinzip der verglichenen Rechnungsweisen begründete Vorteil für die Rechnung nach der Verallgemeinerung des G. G. für Asymmetrie würde nun zwar an sich nicht hindern, daß in den einzelnen Verteilungsbestimmungen der m' j ' und m, j , (§ 27) sich um so größere und im ganzen überwiegende Nachteile gegen die Rechnungsweise nach dem einfachen G. G. geltend mach-ten; aber so weit ich Vergleiche angestellt habe, ist das Gegenteil der Fall.

    3) Die Gesetze der wesentlichen Asymmetrie, welche §33 für den Fall eines hinreichend großen m und Erfüllung der in Kap. IV angegebenen Requisiten aufgestellt sind und weiterhin ihre theoretische Begründung finden werden, bestätigen sich an dem vorliegenden Untersuchungsmaterial allgemein mit solcher Annäherung an die idealen Forderungen, wie es nur bei den doch nicht ganz ausschließbaren unausgeglichenen Zufälligkeiten erwartet werden kann, und beweisen damit zugleich die Richtigkeit dieser Theorie.

    So gilt es zuvörderst bezüglich des Proportionalgesetzes. Nach den gegebenen Erklärungen besteht es darin, daß bezüglich des Wertes, auf den das größte z fällt, kurz bezüglich des dichtesten Wertes, die Zahl der beiderseitigen Abweichungen sich wie die Größe ihrer mittleren Werte, d. i. m,: m' = e,: e' verhält, wonach umgekehrt der Wert, bezüglich dessen dies Verhältnis zutrifft, mit dem durch sein z-Maximum direkt bestimmten dichtesten Werte zusammenfallen muß. Nachdem wir nun eine Verteilungstafel durch angemessene Reduktion auf einen so regelmäßigen Gang der z gebracht haben, daß eine Untersuchung seiner Gesetze und Verhältnisse überhaupt möglich ist, finden wir den daraus nach der Bedingung bestimmten Wert, daß sich bezüglich desselben m,: m' = e,: e' verhalte, in das Intervall fallend, auf welches das größte z fällt, wie man sich überzeugen kann, wenn man einerseits das in den Tabellen der Elemente aufgeführte, überall nach jener Bedingung bestimmte Dp , andererseits die auf die Form der Intervalltafel gebrachte Verteilungstafel, aus welcher, die Ableitung geschehen ist, vor Augen nimmt. Mittelst des Kap. XI angegebenen Interpolationsverfahrens aber kann man das D in dem Intervalle, worin es liegt, noch genauer bestimmen, als wenn man es direkt nach der Größe seines z zu bestimmen sucht, wonach man dann freilich in den Tabellen der Elemente nicht eine weitere Bestätigung des Proportionalgesetzes darin finden darf, daß bezüglich des darin aufgeführten dichtesten Wertes Dp sich wirklich m,: m' = e,: e¢verhält, da Dp selbst als der Wert bestimmt ist, bezüglich dessen dieses Verhältnis besteht. Nun kann allerdings ausnahmsweise dieser Wert unter dem Einflusse starker unausgeglichener Zufälligkeiten und bei ungünstiger Reduktionslage statt in das Intervall mit dem Maximal-z selbst, in das Nachbarintervall fallen; doch reicht es dann im allgemeinen hin, die Reduktionslage zu ändern , um ihn in das betreffende Intervall hineinzubringen.

Weiter aber finden wir in dem möglichst scharf auf Grund jener Proportion bestimmten Werte Dp einen Ausgangswert für Abweichungen, welche dem zweispaltigen G. G. genügen, mit zufälligen Störungen allerdings, die ja nirgends fehlen können, aber nur solchen von gleicher Ordnung, als auch bei der Verteilung der Beobachtungsfehler bezüglich des arithmetischen Mittels vorkommen und geduldet werden, wie die BESSEL’schen Vergleichstabellen2) zwischen Beobachtung und Rechnung beweisen.

2) [Fundamente astronomiae, Sectio II, p. 19. 20.]
 
    Was das Lagengesetz anlangt, wonach der Zentralwert C und das arithmetische Mittel A nach derselben Seite vom dichtesten Werte in der Art abliegen, daß C zwischen A und Dp fällt, so wird man es mit seinen Konsequenzen ausnahmslos selbst bei den schwächsten u : m in den Tabellen der Elemente bestätigt finden, und könnte geneigt sein, hierin den allerschlagendsten Beweis für wesentliche Asymmetrie zu finden, da bei wesentlicher Symmetrie vielmehr Dp , C , A nur durch unausgeglichene Zufälligkeiten, und dann in unbestimmter gegenseitiger Lage, von einander abweichen könnten. Doch ist hierauf nichts zu geben. Es läßt sich nämlich nachweisen, daß das Lagengesetz eine notwendige Konsequenz des Proportionalgesetzes ist 3), und sofern Dp in den Tabellen der Elemente durch das Proportionalgesetz bestimmt ist, muß sich dann freilich auch das Lagengesetz bezüglich desselben bestätigen, ohne damit beweisen zu können, daß dieser Wert dem Maximal-z entspricht, was fundamental immer nur durch den direkten Vergleich geschehen kann. 3 ) [Vergl. den Schluß des vorhergehenden Kapitels.]     Hiergegen setzen die p -Gesetze, wodurch für die Abstände zwischen Dp , C , A bestimmte Werte festgestellt werden, die Gültigkeit des zweispaltigen G. G. voraus, ohne daß dieses eine notwendige Folge des Proportionalgesetzes ist, und tragen also, insofern sie sich in der Erfahrung mit solcher Annäherung bestätigen, als es unausgeglichene Zufälligkeiten gestatten, allerdings wesentlich bei, das Vorhandensein wesentlicher Asymmetrie zu beweisen, sofern solche mit dem zweispaltigen G. G. solidarisch ist.

    Schließlich also kommen die aus den Tabellen der Elemente und den damit in Beziehung stehenden Vergleichstabellen zwischen beobachteter und berechneter Verteilung zu entnehmenden Merkmale für das Vorhandensein wesentlicher Asymmetrie darauf zurück: a) daß das nach dem Proportionalgesetz bestimmte Dp mit dem direkt bestimmten Di so nahe zusammentrifft, als es unausgeglichene Zufälligkeiten gestatten; b) daß die Abweichungen von dem in ersterem Wege möglichst genau bestimmten Dp dem zweispaltigen G. G. in zufriedenstellender Weise genügen; c) dass die p-Gesetze mit hinreichender Annäherung erfüllt werden. Selbstverständlich muß bei all dem die Erfüllung der Requisiten des Kap. IV vorausgesetzt werden, die überhaupt zu einer erfolgreichen Untersuchung der K.-G. erfüllt sein müssen. Sofern nun unter diesen Voraussetzungen die angegebenen Kriterien allgemein zutreffen, kann allerdings ein Schluß auf das allgemeine Vorkommen wesentlicher Asymmetrie, daraus gezogen werden.

    4) Verstehen wir verwandte K.-G. im Sinne folgender Beispiele, so gibt es nicht wenige Fälle, wo das u derselben bei dem zu Gebote stehenden m zu klein ist, um nicht bei jedem insbesondere die Möglichkeit der Abhängigkeit von bloß zufälliger Asymmetrie übrig zu lassen, in der Richtung aber bei allen so übereinstimmend, oder einer Abwandelung der Gegenstände so gesetzlich folgend, als sich nicht mit bloßer Zufälligkeit verträgt.

    So habe ich bei Rekrutenmaßen ganz verschiedener Länder, so weit sie als vollzählig anzusehen sind, die Asymmetrie bezüglich A immer positiv gefunden, bei täglichen und monatlichen Regenmengen (Genf, Freiberg) für alle Monate negativ, für die verschiedensten Bauch- und Brustorgane des Menschen (nach BOYD) immer negativ gefunden. Bei den thermischen Monatsabweichungen andererseits kehrt sich die Richtung der Asymmetrie im Fortschritt der Monate durch das Jahr gesetzlich um, so daß sie in den Wintermonaten positiv, in den Sommermonaten schwächer negativ, in den Zwischenmonaten dazwischen schwankend ist. Bei den Roggenähren ist das u dies obersten Gliedes positiv, schwächt sich beim Herabsteigen zu den unteren Gliedern und schlägt bei den untersten ins Negative um. Unstreitig zwar könnte das m aller dieser Fälle klein genug genommen werden, daß die Konstanz oder Gesetzlichkeit gestört würde oder verloren ginge, sofern mit der Kleinheit des m die unausgeglichenen Zufälligkeiten einen wachsenden Einfluß gewinnen; aber das m , was zu Gebote stand, hat hingereicht, es zu verhüten. Wäre aber keine wesentliche Asymmetrie vorhanden gewesen, so hätte sie auch bei keiner Größe des m ein so konstantes oder gesetzliches Übergewicht über die Zufälligkeiten gewinnen können. Das mehrfache Vorkommen solcher Fälle hat mich zuerst darauf geführt, der wesentlichen Asymmetrie überhaupt eine allgemeine Rolle im Gebiete der K.-G. zuzuschreiben; und unstreitig würden sich die Fälle dieser Art häufen, wenn nur hinreichende Untersuchungen mit hinreichendem m in Bezug darauf vorlägen.