IX. Bestimmung von åa , åa,, åa¢, m,, m' , åQ,, åQ' .

    § 68. Zur Erläuterung der Anwendung der folgends zu gebenden Regeln könnte jede der bisherigen Verteilungstafeln dienen. Es vereinfacht und hiermit erleichtert sich aber die Anwendung der Regeln mit der Kürze der Tafeln, und so lasse ich zunächst eine kleine, nur nach dem allgemeinen Schema einer Kollektivverteilungstafel, übrigens willkürlich, aus bloß acht a der a-Spalte konstruierte Tafel folgen, an welche sich die folgenden Erläuterungen knüpfen mögen, die, richtig gefaßt, dann auch auf jede wirkliche Kollektivverteilungstafel Anwendung finden können. Die Spalten S,, S' sind Hilfsspalten, welche sofort ihre Erläuterung erhalten werden.

Kleine, willkürlich aufgestellte Verteilungstafel.

i = 2; m = 80; åa = 912.

a
Intervalle
z
z.a
S,
S'
3
2 - 4
1
3
1
80
5
4 - 6
2
10
3
79
7
6 - 8
5
35
8
77
9
8 - 10
10
90
18
72
11
10 - 12
30
330
48
62
13
12 - 14
20
260
68
32
15
14 - 16
10
150
78
12
17
16 - 18
2
34
80
2
Summe
80
912
304
416

 

    In voriger Tafel ist die Bedeutung der Werte in den Spalten a , Interv., z , z.a nach den früheren Erklärungen bekannt, die der Werte S,, S' aber erläutert sich so: Das erste S,ist gleich dem ersten z , das zweite S,gleich dem ersten + zweiten z, das dritte gleich dem ersten + zweiten + dritten z u.s.f., so daß das letzte gleich der Summe aller z und hiermit = m wird. Hiernach wird jedes, einem gegebenen a zugehörige S,durch Summierung des zum vorangehenden a gehörigen S,mit dem z des betreffenden a erhalten.

    In der Spalte der S ¢ ist dasselbe Verfahren, aber mit Summierung von unten in entgegengesetzter Richtung angewandt.

    § 69. Nun ist, abgesehen von der Totalsumme åa und der Totalzahl m , eine rohe und eine scharfe Bestimmung der betreffenden Werte in dem schon früher angegebenen Sinne zu unterscheiden; eine rohe, sofern man so rechnet, als wenn die Zahl z , die auf jedes a einer primären oder reduzierten Tafel geschrieben ist, demselben ganz angehöre; eine scharfe, sofern darauf Rücksicht genommen wird, daß sie eigentlich in dem Umkreisintervall jedes a verteilt zu denken ist, wonach der Wert der zu bestimmenden Elemente in dem Intervall, worin die Bestimmung derselben eingreift, kurz dem Eingriffsintervall, interpolationsmäßig zu bestimmen ist, wie im Folgenden gezeigt wird. Bisher ist man hierauf nicht eingegangen; im Folgenden wird darauf einzugehen sein und der Vorteil davon bewiesen werden.

    Das bei scharfer Bestimmung zu interpolierende Intervall, sog. Eingriffsintervall, werde ich seiner Lage und Größe nach allgemein mit I bezeichnen. In unserer Beispielstabelle ist es, übereinstimmend mit dem durch die Tabelle durchgehenden i seiner Größe nach = 2, indes seine Lage nach Beschaffenheit der Aufgabe wechseln kann. Allgemein sei seine, aus der Spalte der Intervalle sich ergebende erste Grenze mit g1, seine zweite mit g2bezeichnet; also, wenn 10 – 12 das Eingriffsintervall ist, g1 = 10, g2 = 12.

    Sei ferner allgemein:

zo der Wert z , welcher auf das Eingriffsintervall I fällt,
ao der in der Spalte der a dem betreffenden I zugehörige Wert von a , welcher die Mitte von I ist,
zo.ao das demgemäße Maßprodukt, welches auf I fällt,
v die sog. Vorzahl, d. i. die Summe der z und V die Summe der z.a , welche vom Anfange der Tabelle herein bis zum Anfange von I reicht,
n die sog. Nachzahl und N Nachsumme, welche vom Schlusse des I bis zum Schlusse der Tabelle reicht,
x = H - g1 , Eingriffsmaß, der Wert, um welchen der in I fallende Hauptwert H den Anfang von I , d. i. g1, überreicht,
y = m,–v, Eingriffszahl, die Zahl, um welche die vom Anfange herein bis H reichende Zahl die bis zum Anfange von I reichende überreicht,
Y Eingriffssumme, die Summe der a , welche vom Anfange des I bis zu H reicht.

Allgemein hat man: v + n + zo = m ,

V + N + zo ao = åa = åza.

    Sofern nun für die folgende Erläuterung das Intervall 10 – 12 unser I vorstellen wird, haben wir:

m = 80; åa = åza = 912 ;

g1 = 10; g2 = 12;

zo = 30; ao = 11; zo ao = 330;

v = 18; V = 138;

n = 32; N = 444;

x = H - 10; y = m,- 18.

    Als H kann jeder beliebige Wert auftreten, doch werden wir die Erläuterung vorzugsweise an den arithmetischen Mittelwert der Tafel als H knüpfen, welcher sich durch Division von åza = 912 mit åz = 80 gleich 11,4 findet, und mithin x = 1,4 gibt; doch soll auch der Zentralwert als H dienen.

§ 70. Bestimmung einer Wertsumme åa.

    Diese Bestimmung geschieht direkt durch Summierung der za , so daß åa mit åza gleichbedeutend gebraucht wird.

    Bei so kleinen Tafeln als unserer Beispielstafel macht nun die Bildung und Summierung der za keine Schwierigkeit; aber wenn eine Tafel weit ausläuft, die a der a-Spalte und hiermit zu bildenden Maßprodukte za sehr zahlreich sind, was namentlich die primären Tafeln trifft, wird diese Bildung und Summierung außerordentlich umständlich und unterliegt leicht Rechenversehen. Man versuche es nur mit irgend einer unserer primären Tafeln; und selbst bei den reduzierten Tafeln macht sich dieselbe Beschwerlichkeit, wenn auch in vermindertem Grade, noch geltend. Demnach ist sehr erwünscht, daß eine auf primäre wie reduzierte Tafeln jeder Stufe und Lage gleich anwendbare Methode zu Gebote steht, åa (und hiernach A) mit ganz demselben Werte, aber in weit bequemerer Weise als nach dem vorigen Verfahren zu finden, welches ich das der z a nennen will, indes ich das folgends auseinanderzusetzende das der S nenne. Es gehört nur dazu, was für das Verfahren der za nicht wesentlich ist, daß die Tafeln, auf welche das Verfahren der S Anwendung finden soll, äquidistant oder durch Einschaltung leerer a äquidistant gemacht sind, wonach man sich darauf beschränken kann, die unbequeme Methode der za auf die Fälle zu beschränken, wo die Aquidistanz doch nicht hergestellt ist.

    Man kann sich nun beliebig der S,oder S' zur Bestimmung der Summe åa bedienen. Erstenfalls geschieht die Bestimmung nach folgender Formel:

å a = mE' - Z,i ; (1) zweitenfalls nach der Formel: å a = mE,+ Z' i. (2)     Darin haben die Buchstaben folgende Bedeutung. Unter m wird die gesamte Zahl der a verstanden, deren Summe zu nehmen ist, d. i. åz , unter E' das größte a oder obere Extrem (was freilich in der Tabelle unten steht), unter E,das kleinste a oder untere Extrem unter diesen a , welche Werte, wann etwa die zu summierenden a bloß ein Stück einer ganzen Verteilungstafel ausmachen sollten, nur auf das Stück, nicht auf die ganze Tafel zu beziehen sind. Ferner sei Z,die Totalsumme der S,, welche den zu summierenden a zugehören, weniger dem S,, das zu E' gehört, oder, was dasselbe sagt, die Totalsumme der S,exklusive des extremen S,; ferner Z' die Totalsumme der S¢exklusive dessen, was zu E,gehört; i die konstante Differenz, um welche die a der a-Spalte auseinanderweichen.

    Sei nun das åa der ganzen Beispielstafel zu nehmen, so ist das m = åz derselben 80; E' = 17; E,= 3; Z,= 304 - 80 = 224; Z' = 416 - 80 = 336; i = 2. Mag man nun die erste oder zweite Formel anwenden, so wird man nach diesen Werten åa = 912, übereinstimmend mit der direkt bestimmten Summe der za finden, welche unter der Spalte der za steht.

    Ganz auf dieselbe Weise läßt sich die Summe åa für jedes Stück der Beispielstafel finden, nur daß die Werte m , E' , E,, S,, S' sich demgemäß abzuändern haben, wie denn, wenn die Summierung bloß für die vier a der a-Spalte von 5 bis 11 zu geschehen hätte, man hätte: m = åz = 47, E¢ = 11, E,= 5, i = 2. Die Spalten der S,, S' aber wären so zu bilden:

                                                                                S,                        S¢
                                                                                 2                          47
                                                                                 7                          45
                                                                               17                          40
                                                                              47                         30
                                                                  Summe: 73                         162

mithin                                                    Z,= 73 - 47 = 26; Z' = 162 - 47 = 115 ;

was gibt:                                                                        åa = 465 .

    Bei sehr langen Reihen kann man es unbequem finden, im Fortschritte zu sehr großen Werten von S aufsteigen zu müssen; welchem sich aber leicht abhelfen läßt, indem man die ganze Reihe in zwei oder mehr Abteilungen teilt, und deren åa auf vorigem Wege besonders sucht, um schließlich dieselben zu vereinigen. Als noch praktischer aber empfiehlt sich die vereinigte Anwendung der Spalte S,und S' in folgender Weise.

    Man sondere irgendwo, am praktischsten ungefähr um die Mitte der Tafel, einen Wert a aus, welcher c heiße, führe die Spalte der S,bis zu diesem c , exkl. desselben, und ebenso die Spalte der S' exkl. c fort, summiere die so erhaltenen S,wie S' besonders; erstere Summe heiße wie früher Z,, die zweite Z' , dann hat man:

å a = mc + (Z' - Z,)i, (3) woraus:
, (4)

wobei m die Totalzahl aller zu summierenden a ist.

    § 71. Ich habe das S-Verfahren in einer amerikanischen Abhandlung über Rekrutenmaße (von ELLIOTT) 1) angeführt gefunden ohne Angabe, wie der Verf. dazu gekommen ist, und ohne Beweis seiner Allgemeingültigkeit. Nun läßt sich dieser Beweis wohl führen, ist aber, obwohl elementar 2), doch ziemlich umständlich und mühsam zu verfolgen; ich übergehe ihn daher, da das Verfahren jede empirische Probe besteht, füge aber demselben zur Sicherung seiner Anwendung noch folgende Bemerkungen hinzu.
 

    1) [E. B. ELLIOTT, On the military statistics of the United States of America. Berlin 1863. (International statistical congress at Berlin). S. Note on the construction of certain tables, p. 40.]

    2) [In der Tat ist. bloß nötig, åza ausführlicher durch z1 a1 + z2 a2 +z3a3 + . . znan darzustellen und die äquidi-stanten a2, a3 , ... an durch a1 + i, a1 + 2i, ...a1 + n - 1i zu ersetzen, um durch geeignetes Zusammenziehen der Glieder die transformierte Summe in der Form: a1 (z1 +z2 + ... zn) +i(z2 +z3 +. . zn) + i(z3 + ... zn) + ... izn und damit die Summenformel: E,m + Z¢ i zu erhalten. In ähnlicherweise erhält man E'm - Z,i, wenn man a1, a2 , a3...an - 1 resp. durch an – n - 1i , an – n - 2i, an – n - 3i... an - i ersetzt.]
 
 

    1. Natürlich hängt die Richtigkeit der Bestimmung von åa und folgeweis von A von der Richtigkeit der S- Kolumnen ab. Ist ein S in der Reihenfolge falsch, so werden alle folgenden ebenfalls falsch, weil jedes frühere S in alle späteren eingeht, und bei Aufsteigen zu hohen Werten von S kann leicht ein Versehen vorkommen. Man hat aber ein leichtes und nie zu versäumendes Mittel der Kontrolle darin, daß bei Anwendung einer S - Spalte das extreme S ,was in Z nicht eingeht, mit m übereinstimmen muß; bei dem kombinierten Verfahren von S, und S' aber die letzten, in Z nicht mit eingehenden Werte von S,und S ¢, zu denen man gelangt, mit dem z-Werte von c die Totalzahl m geben müssen.

    2. Das S - Verfahren ist zwar gleich anwendbar auf Tafeln mit und ohne eingeschaltete leere a , und die Bildung der S – Spalte geschieht beidesfalls nach derselben Regel; aber es wird doch nützlich sein, die Anwendung der Regel für den Fall vorkommender leerer a mit z = 0 noch besonders zu erläutern, um etwaigen Mißverständnissen und hieraus folgenden Versehen zum voraus zu begegnen. Nach der angegebenen Regel wird jedes zu einem gegebenen a der a-Spalte gehörige S als Summe des zum vorangehenden a gehörigen S mit dem z des betreffenden a erhalten. Ist nun letzteres a ein leeres mit z = 0, so ist selbstverständlich nach voriger Regel sein S eine bloße Wiederholung des vorhergehenden S , und so viele leere a hinter einander folgen, so oft wiederholt sich das S des ihnen vorangehenden geltenden a. Unsere beiden Beispielstafeln (in § 68 und § 70) geben zur Erläuterung hiervon keinen Anlaß, da sie, wie die meisten reduzierten Tafeln, keine leeren a enthalten; desto mehr Gelegenheit bieten dazu die primären Tafeln, insbesondere in ihren Endabteilungen. Zur kurzen Erläuterung aber stellen wir auch hier eine kleine Tafel mit einigen leeren a willkürlich auf und klammern dabei die den leeren a zugehörigen, wiederholten S zur leichteren Unterscheidung von den anderen ein, ohne daß sie aber bei Bildung von åS und mithin Z von der Summierung ausgeschlossen werden dürfen, da sie vielmehr dabei ganz wie die anderen mitzählen :
 
 
 

a z S, S¢
3
2
2
50
5
0
(2)
(48)
7
0
(2)
(48)
9
10
12
48
11
30
42
38
13
5
47
8
15
0
(47)
(3)
17
3
50
3
Summe
50
204
246

 

Wenn, wie häufig, in den Endabteilungen primärer Tafeln eine größere Anzahl leerer a und mithin wiederholter eingeklammerter S hinter einander folgen, wird man es am einfachsten finden, diese gleich in Summa einzuklammern, nur daß man sich zu hüten hat, das darauf folgende S dann nicht als Summe dieser Summe von S mit dem neuen z , sondern als Summe des der Einschaltung vorhergehenden nackten S mit dem neuen z zu bestimmen. So wird die Reihe der S, voriger Tafel folgende Gestalt annehmen:

2 , (4) , 12 , 42 , u.s.w., also das zu a = 9 mit z = 10 gehörige S,= 12 nicht durch Zufügung von 10 zum vorangehenden summierten (4), sondern zu dem der Einschaltung vorangehenden nackten 2 zu bilden sein; eine Regel, die wohl zu beachten ist. Wenden wir nun dies auf den Eingang unserer primären Tafel I (Kap. VII) an, so wird sich nach erforderlicher (in Gedanken ausführbarer) Einschaltung der leeren a , deren zwei zwischen 368 und 371, vier zwischen 371 und 376, eins zwischen 376 und 378 fallen, die Reihe der S,so gestalten: 1 , (2) , 3 ; (12); 4 , (4) , 5 , 6 u.s.w. In der primären Tafel III, wo i = 0,25 Zoll ist, fallen zwischen die zwei ersten geltenden a , d. i. 60 und 64 ganze Zoll respektiv mit z = 1 und 2, gar 15 leere a , weiter zwischen 64 und 64,75 zwei, und gestaltet sich der Anfang der S,-Reihe so: 1 , (15), 3 , (6), 7 u.s.f.     Es ist wichtig, sich mit. dieser Verwendung der leeren a wohl vertraut zu machen und die richtige Vornahme derselben in jedem Falle wirklichen Gebrauchs durch sorgfältige Revision zu kontrollieren, weil man sich nur zu leicht darin versieht, und weil die obige Kontrolle der richtigen Bildung der S-Kolumnen, daß ihr letzter Wert mit m übereinstimme, auch bei Einschaltung der leeren a noch zutreffen muß, also nicht zu vernachlässigen ist, aber auch, wenn sie zutrifft, nicht gegen eine falsche Verwendung der leeren a sicherstellt.
 
 

§ 72. Bestimmung der unteren und oberen Summen, resp. åa,und åa' , bezüglich eines gegebenen Hauptwertes H.

    Sei beispielsweise A der Hauptwert, in unserer Beispielstabelle 11,4, so hat man nach roher Bestimmung alle a , welche kleiner als 11,4 sind, also von a = 3 bis inkl. a = 11 zu summieren, d. h. die entsprechenden za zu summieren, um åa,zu haben; indes man åa¢durch Summierung der za von a = 13 bis zum Schluß erhält, d. i. åa,= 468, åa' = 444. Außer durch direkte Summierung der betreffenden za kann man diese Summen in angegebener Weise nach dem S - Verfahren erhalten.

    Zur scharfen Bestimmung hat man die Summe åa,aus zwei Teilen zusammengesetzt zu denken, der Vorsumme V , welche vom Anfange der Tabelle herein bis zum Anfange des Eingriffsintervalles I reicht, und der Eingriffssumme Y , welche von da bis zu H , unseren Falles bis A , reicht und durch einfache Interpolation erhalten wird, indem man setzt, daß sich die Eingriffssumme Y zur Totalsumme des Intervalles I , d. i. zu z0a0, verhält wie das Eingriffsmaß x zum totalen Intervall I ; mithin:

Y : z0 a0= x : I , (5)
also:
;     (6)

hiernach:

. (7)





    In unserer Beispielstabelle ist V = 138 , z0a0 = 330 , x = 1,4 , I = 2 ; mithin:

å a,= 369 ; åa¢ = åa - åa,= 912 - 369 = 543, was von den rohen Bestimmungen sehr abweicht.

    Sollte statt A irgend ein anderer Hauptwert H eintreten, so würden die vorigen Formeln dieselben bleiben, nur daß x statt = A - g1, vielmehr = H - g1, zu nehmen wäre. Sei z.B. das scharf bestimmte C als H genommen. Nach § 82 findet es sich für unsere Tabelle, mit Abrundung in der letzten Dezimale, wenig, doch etwas abweichend von A , gleich 11,467, mithin x = 1,467; gibt:

åa¢ = 912 - åa, = 532 – 0,055 ,

wo die kleinen Zusätze zu 380 und 532 wegfallen müssen, weil sie bloß von Abrundung des C in der letzten Dezimale abhängen.

    [Wollte man nun; um eine noch genauere Bestimmung der Eingriffssumme Y zu erhalten, an Stelle der einfachen Interpolation eine schärfere, durch Zuziehen zweiter Differenzen, treten lassen, so wäre dies nicht zulässig. Denn die hierbei als erste Differenzen zu Grunde zu legenden Produkte az stellen die Summe der auf ein Intervall i fallenden Werte a nur unter der Voraussetzung dar, daß diese Werte sich gleichmäßig auf das ganze Intervall verteilen. Es ist somit durch diese Vorstellungsweise die Abhängigkeit der Eingriffssumme Y von dem Eingriffsmaße x bereits geregelt und insbesondere einer Beeinflussung durch die dem interpolierten Intervalle vorangehenden oder folgenden Produktwerte az , wie sie bei der Zuziehung zweiter oder noch höherer Differenzen vorausgesetzt werden müßte, entzogen. Will man daher aus dem nämlichen Gesichtspunkte, dem die Summierung aller auf ein ganzes Intervall fallenden a unterliegt; die Eingriffssumme Y mit größtmöglicher Schärfe bestimmen, so muß man die an der Bildung der Eingriffssumme beteiligten Werte a , deren Anzahl die Eingriffszahl y ist und im folgenden Paragraph gleich z0x : I gefunden wird, in der Mitte des als Eingriffsmaß x bezeichneten Teilintervalles, d. i. in g1 + ½ x , vereinigt denken und somit

(8)

statt, wie oben, gleich z0a0x : I setzen. Die Summe der a , findet man alsdann gleich:

, (9)

wo der dem Summenzeichen beigefügte Index zur Unterscheidung von der Formel (7) dienen mag. Bei proportionaler Bestimmung von Y wird demnach åa,um den Betrag

zu groß in Rechnung gezogen, so daß die genauere Bestimmungsweise (8) im allgemeinen einen in Betracht kommenden Vorteil gewähren wird. In der Tat erhält man für das A = 11,4 unserer Beispielstabelle å¢a' = 362,7 gegenüber åa,= 369.]

    [Genügt aber die so erreichbare Genauigkeit nicht, so ist nicht nur Y , sondern auch V und N auf Grund der Vorstellung zu bestimmen, daß an Stelle der gleichmäßigen Verteilung der a innerhalb der einzelnen Intervalle eine, durch Berücksichtigung der benachbarten Intervalle bedingte, kontinuierlich sich verändernde tritt. So erreicht man den nächst höheren Grad von Genauigkeit, wenn man die Zuziehung der Nachbarintervalle auf eines der beiden direkt angrenzenden Intervalle, z. B. auf das, beim Fortschreiten von den kleineren zu den größeren a unmittelbar folgende Intervall beschränkt. Dann sind die bisherigen Bestimmungen durch folgende zu ersetzen.]

    [Bezeichnet z1die Anzahl der Werte, die auf das dem Eingriffsintervalle folgende Intervall fallen, und fügt man, um die Werte des ersten, dem Extreme E,zugehörenden, und die Werte des letzten, das Extrem E' einschließenden Intervalles nicht in Rechnung ziehen zu müssen, am Anfange und Ende der Tafel ein leeres Intervall mit z = 0 hinzu, so bestimmt sich die Summe der a des ganzen Eingriffsintervalles gleich a0z0 -1/12 I (z0 - z1), die Vorsumme gleich V + 1/12I z0 , die Nachsumme gleich N - 1/12I z1, wo V und N wie oben zu berechnen sind, und die Gesamtsumme der a ist somit gleich dem wie oben berechneten åa. Zur Berechnung der Eingriffssumme ferner dient die Formel:

, (10)
aus welcher schließlich:
(11)
folgt.
 
 

§ 73. Bestimmung der Abweichungszahlen m,, m¢ .

    Nach roher Bestimmung findet sich m,leicht durch Zusammenzählen der Werte z , welche zu den Werten a gehören, die kleiner als H sind; und nehmen wir in unserer Beispielstabelle A = 11,4 für H , so gibt dies µ,= 48 und µ¢ = m - µ,= 80 - 48 = 32.

    Gilt es die scharfe Bestimmung, so setzt sich m,zusammen aus der Vorzahl v , welche bis zum Anfange von I reicht und der Eingriffszahl y , welche von da bis H reicht. Diese aber wird nach Kenntnis von x = H - g1durch Interpolation nach Ansatz der Proportion erhalten:

Y : z0 = x : I , (12)

mithin:

(13)

und hiernach:

. (14)

    Nehmen wir für H den Wert A = 11,4 und hiernach die obigen Werte v =18; x = 1,4; z0 = 30; I = 2 , so erhalten wir µ,= 39, µ¢ = 80 - 39 = 41, eine Bestimmung, die wiederum von der rohen sehr abweicht, ja das Übergewicht auf die entgegengesetzte Seite fallen läßt.

    Soll m¢ nicht durch Abzug des m,von m , sondern direkt bestimmt werden, was zur Kontrolle nützlich sein kann, so hat man scharf allgemein:

, (15)

was bei Setzung von H = A vermöge n = 32 zu

zurückführt.

    Sei statt A vielmehr C als H genommen. Nach scharfer Bestimmung im X. Kap. findet es sich für unsere Beispielstabelle wenig, doch etwas abweichend von A , gleich 11,467, mithin x = 1,467 indes die übrigen Werte dieselben als für A bleiben. Dies gibt:

.

Beide Werte sind, wie es dem Begriffe des Zentralwertes entspricht, einander gleich, gleich ½m = 40, indem der kleine positive und negative Zusatz dazu wieder nur von Abrundung des C in Dezimalen abhängt.

    [Diese Bestimmung der Eingriffszahl y durch einfache Interpolation hat als exakt zu gelten, so lange die Verteilung der a innerhalb der einzelnen Intervalle als gleichförmig angenommen werden darf. Ist dies jedoch nicht der Fall, so kann durch scharfe Interpolation, unter Benutzung zweiter und höherer Differenzen jeder beliebige Grad von Genauigkeit erreicht werden. Denn das intervallweise Zusammenfassen der Anzahlen der a zu den z -Werten, die der Interpolation als erste Differenzen zu Grunde zu legen sind, ist nicht wie das entsprechende Zusammenfassen der Summen der a zu den za - Werten von einer bestimmten Voraussetzung über die Verteilung der a innerhalb der zugehörigen Intervalle abhängig. So erhält man denn bei Zuziehung zweiter Differenzen, d. h. bei Mitberücksichtigung des auf das Eingriffsintervall unmittelbar folgenden Intervalles, dessen z wie oben gleich z1 gesetzt werde, die Formel:

. (16)

Berücksichtigt man aber überdies auch noch das unmittelbar vorangehende Intervall, dessen z durch z-1ausgedrückt werde, so dient zur Berechnung von y die Formel:

(17)

in welcher dritte Differenzen zugezogen sind. Dabei ist zu beachten, daß eine derartige Verschärfung in der Berechnung von y die entsprechende Verschärfung in der Berechnung von Y , V und N bedingt. Insbesondere hat die Benutzung der Formel (16) das Inkrafttreten der Formeln (10) und (11) zur Folge.]
 
 

§ 74. Bestimmung der beiderseitigen Abweichungssummen åQ ' , åQ, bez. eines gegebenen Hauptwertes H.

    Direkt erhalten wir die positive AbweichungssummeåQ' bez. eines beliebigen Ausgangswertes H , wenn wir die einzeln bestimmten Differenzen Q ' = a¢ - H summieren; die folgends immer nach absolutem Werte zu nehmende negative Abweichungssumme åQ,, wenn wir die einzeln bestimmten Differenzen Q,= H - a, summieren; aber die Einzelbestimmung der vielen Differenzen ist mühsam und unterliegt leicht einzelnen Rechenversehen; beidem begegnet man durch Bestimmung nach folgender Formel:

åQ¢ = åa¢ - m¢ H

         åQ,= m,H - åa, (18)

In der Tat, die Summe der positiven Q, d. i. åQ ' , wird dadurch gewonnen, daß der Wert H von jedem der m' Werte a' , d. i. der a ,welche größer als H sind, also im ganzen m'-mal H von åa' abgezogen wird 3); was die erste obiger Gleichungen gibt. Andererseits wird die Summe der negativen Q nach absolutem Werte erhalten, wenn die Summe der m,Werte a,,d. i. der Werte a , welche kleiner als H sind, von m,-mal H abgezogen wird, was die zweite der obigen Gleichungen gibt.

    3 ) Nicht von m'a, was nur dann geschehen könnte, wenn alle a dieselbe Größe hätten.

    Diese Formeln gelten sowohl für rohe als scharfe Bestimmung, nur mit dem Unterschiede, daß für rohe Bestimmung m,und m¢, å a,und åa' roh, für scharfe Bestimmung scharf bestimmt werden. Nehmen wir nun wieder A als Hauptwert für unsere Beispielstabelle, in welchem Falle sich µ für m , Dfür Q substituiert, so können wir uns für rohe wie scharfe Bestimmung der schon vorhin bestimmten Werte bedienen, wonach roh µ,= 48; µ' = 32; åa,= 468; åa¢ = 444; gibt:

roh

åD, = 48 × 11,4 – 468 = 79,2

åD¢ = 444 – 32 × 11,4 = 79,2

Beide Summen sind gleich wie es dem Begriffe des arithmetischen Mittels entspricht, Nach scharfer Bestimmung hat man µ,= 39; µ' = 41; åa,= 369; åa' = 543; hiernach:

scharf

åD, = 39 × 11,4 – 369 = 75,6

åD¢ = 543 – 41 × 11,4 = 75,6

Also wieder Gleichheit beider Summen, nur daß die scharf bestimmten Summen kleiner als die roh bestimmten sind. [Legt man jedoch an Stelle der proportionalen Berechnung von Y die oben angegebene genauere zu Grunde, setzt man also å'a,= 362,7; å 'a' = 549,3, so erhält man, wenn auch hier zur Unterscheidung von den obigen Abweichungssummen dem Summenzeichen ein Index beigefügt wird:

scharf

å¢D, = 39 × 11,4 – 362,7 = 81,9

å¢D¢ = 549,3 – 41 × 11,4 = 81,9,

mithin zwei einander gleiche Summen, die größer als die roh bestimmten sind.]

    Dies Resultat ist bez. A als H genommen überhaupt allgemein, und zwar ist:

    1. für den Fall, daß A > a0, mithin :

    2.  

       
       
       

      scharf åD,= roh åD,-= roh åD,- k (19)

      [scharf å¢D,= roh åD,= roh åD,+ k ]

    3. für den Fall, daß A < a0, mithin ::
scharf åD,= roh åD,= roh åD, - l (20)

[scharf å¢D,= roh åD,= roh åD,+ l ]

Den etwas umständlichen und penibeln Beweis4) hiervon übergehe ich, man kann aber die Richtigkeit der Formel an beliebigen selbst gemachten Beispielen, z. B. an unserer Beispielstabelle bestätigen. Hier ist A = 11,4; a0 = 11, mithin A > a0 , zugleich ist I = 2 , x = 1,4 , mithin x > ½I . Also liegt der erste Fall vor. Nun hatten wir roh åD,= 79,2. Der hiervon abzuziehende Wert k, um zu åD,scharf zu gelangen, aber berechnet sich nach obigem Ausdruck mit Rücksicht, daß z0 = 30, zu ½ × 30 × 0,6 × 0,4 = 3,6 und dies von 79,2 abgezogen, gibt 75,6 wie oben nach der Formel gefunden. [Der Wert k ferner, der zu å'D, scharf führt, findet sich nach obiger Bestimmung gleich ¼×30 × 0,62 = 2,7 und dies zu 79,2 addiert gibt 81,9 , wie es sein soll.]

    4 ) [Er folgt, zugleich mit der Erweiterung für jeden beliebigen Hauptwert H, bezüglich dessen die unteren und oberen Abweichungssummen åQ , resp. åQ' bestehen, durch direkte Rechnung aus den Formeln:

  roh åQ , = (v + z0)H – (V + a0z0),

  wenn H > a0 = vH – V, wenn H < a0;

scharf 
scharf ,

denen analoge Formeln für die oberen Abweichungssummen zur Seite stehen.]
 

    Nur in dem Spezialfalle verschwindet der Unterschied zwischen åD, roh und åD, scharf, wo A mit einer der beiden Grenzen des I oder mit dessen Mitte zusammenfällt, wo x = 0 oder = I oder = ½I ; wogegen nach einer Maximumgleichung der Unterschied der größtmögliche wird, wenn erstenfalls x = ¾I , zweitenfalls = ¼I , indem er beidesfalls den Wert 1/16× z0I erhält. [Es verschwindet ferner der Unterschied zwischen åD,roh und å'D, scharf, falls A mit einer der beiden Grenzen des I zusammenfällt, wogegen dieser Unterschied seinen Maximalwert 1/8z0I erhält, wenn A in die Mitte von I fällt.] Also schwebt der ganze Unterschied k oder l zwischen 0 und 1/16z0I [der Unterschied koder l zwischen 0 und 1/8z0I ]; überhaupt aber steht der Unterschied bei gleichem I und x in einfachem Verhältnisse zu z0.

    Man sieht nun, daß sich das scharfe åD,[resp. å'D,] auch dadurch bestimmen läßt, daß man erst das einfacher zu findende rohe bestimmt, hiernach k oder l davon abzieht [resp. k oder l dazu addiert], je nachdem A > a0 oder A < a0 .

    Wenn H nicht gleich A , so hat man statt Gleichheit beider Summen vielmehr Ungleichheit zu erwarten. Nehmen wir z. B. C. Die Formen für Bestimmung desselben sind hier:

(21)

.

    Nach Kap. X. wird sich C für unsere Beispielstabelle nach scharfer Bestimmung = 11,467 ergeben, indes ½m = 40 ist. Und bestimmen wir nun auch åa,und åa' nach angegebener Regel scharf, so erhalten wir:

          åQ,= 40 × 11,467 - 380 = 78,7 åQ ' = 532 – 40 × 11,467 =73,3 [resp. å ' Q,= 40 × 11,467 - 374,13 = 84,5 å ' Q' = 537,87 – 40 × 11,467 = 79,2.]     § 75. Machen wir jetzt die Anwendung von vorigen Bestimmungsweisen an einem unserer K.-G. und untersuchen wir, in wie fern die scharfe Bestimmung Vorteile vor der rohen in betreff der Übereinstimmung der Elemente bei Ableitung aus verschiedenen Reduktionslagen gewährt, so zeigt sich, daß sie in betreff der Bestimmung von µ,(woraus µ' = m - µ, folgt) höchst bedeutend, in betreff von åD, (womit åD' gleich ist) aber fehlt oder zweifelhaft bleibt, [in betreff von å'D,dagegen beachtenswert hervortritt].

    Ich habe den ziemlich mühsamen Vergleich an den 5 Reduktionslagen der Verteilungstafel des Schädelvertikalumfanges vorgenommen, welche in § 64 ausgeführt sind, und deren scharf bestimmte Elemente ebendort verzeichnet sind.
 
 

Vergleich zwischen den roh und scharf bestimmten Werten von µ, und åD,.
E, 366 367 368 369 370 Mittel å diff.
A 408,6 408,7 408,2 408,5 408,6 408,5 0,7
µ, roh 217 230 250 193 201 218,2 87,2
µ, scharf 218 220 220 219 217 218,8 5,2
åD, roh 2531 2509 2471 2492 2531 2506,8 101,2
åD, scharf 2528 4292  2465 2479 2509 2494,6 95,6
å'D, scharf 2531 2513 2505 2518 2540 2521,4 56,4

    Die Spalte å diff. gibt die Summe der Abweichungen der 5 einzelnen Bestimmungen von der mittleren Bestimmung, und hiermit eine Art Maßstab für die Variation je nach der Lage. Der Nachteil roh gegen scharf für µ,ist hiernach in der Tat ungeheuer, für åD,zu gering, um nicht zweifelhaft zu bleiben [für å'D,dagegen hinreichend groß, um das Befolgen der genaueren Bestimmungsweise vorteilhaft erscheinen zu lassen]. Übrigens kann man bemerken, daß die Lage E,= 370 vielleicht besser vom Vergleiche ausgeschlossen bliebe, weil die Verteilungstafel dieser Lage nach § 67 eine anormale Unregelmäßigkeit im Kerne zeigt, die sie nicht wohl anwendbar zur Berechnung der Elemente macht.

    Die primäre Tafel ist zum Vergleiche nicht zugezogen, weil sie bei der großen Unregelmäßigkeit und Ungleichförmigkeit der Schätzung überhaupt keine sichere Bestimmung zuläßt. Indes könnte man fragen, ob nicht doch das A derselben = 408,5 zur Ableitung aller µ,und åD,in den 5 Lagen vorzuziehen, da die Reduktion keinen Vorteil, sondern vielmehr eine etwas größere Unsicherheit in die Bestimmung des A bringt. Indes halte ich dies aus folgenden Gründen nicht für sachgemäß.

    Für die Ableitung der anderen Hauptwerte als A ist jedenfalls der Nachteil der Unregelmäßigkeit und Schätzungsgleichheit der primären Tafel überwiegend, und muß man sich doch an eine reduzierte Tafel halten, und dann meines Erachtens konsequenterweise auch A aus derselben Reduktionsstufe und Lage ableiten, welche zur Reduktion angenommen ist, um die Verhältnisse der verschiedenen Hauptwerte nicht durch die Inkonsequenz in dieser Hinsicht zu alterieren. Ohnehin liegt gewöhnlich nur eine reduzierte Tafel zur Ableitung des A wie der anderen Elemente vor. Da übrigens das A der reduzierten Tafeln nach dem Ergebnisse der Zusammenstellungen § 64–66 von dem primären A im allgemeinen wenig abweicht; läßt sich auch kein bedeutender Unterschied von dem Befolgen des einen und anderen Verfahrens erwarten. Ich habe in dieser Hinsicht wenigstens µ,vergleichsweise an derselben Tabelle untersucht, welche die vorigen Resultate bei Anwendung der 5 speziellen A für Ableitung des µ,gegeben hat, indem ich dasselbe überall vom primären A = 408,5 ableitete, und erhielt dabei folgende Resultate, wonach sich µ,roh gegen vorhin nirgends verändert hat, hiergegen µ,scharf so geändert hat, daß die Übereinstimmung zwischen den verschiedenen Lagen dadurch etwas gemindert ist, sofern å diff. vorhin nur 5,2 war, folgends 11,6 ist, was unstreitig nur zum Nachteil der durchgeführten Anwendung des primären A gegenüber der speziellen Anwendung der reduzierten A gedeutet werden kann.
 
 

E, 366 367 368 369 370 Mittel å diff.
µ, roh 217 230 250 193 201 218,2 87,2
µ, scharf 217 217 224 219 216 218,6 11,6

 

    Die mittlere Abweichung anlangend, so hat man durch Verdoppelung von åD,zunächståD und hiernach:

und  . (22)

    Untriftig wäre es, wie ELLIOTT in seiner Abhandlung über amerikanische Rekrutenmaße getan, h als Mittel von h,= åD, : µ,und = åD ' : µ' d. i. = ½(h,+ h') bestimmen zu wollen; denn nicht nur läuft das wider den Sinn der ursprünglichen GAUSS'schen Regel, sondern man vernachlässigt auch dabei die verschiedenen Gewichte, welche dem h,oder je nach ihrer Ableitung aus µ,und µ' Werten zukommen; wonach das richtige Mittel:

(23)

ist.