§ 53. Teils um die Verteilungstafeln mehr ins Enge zu ziehen und damit einen kleineren Raum für sie in Anspruch zu nehmen, teils die Unregelmäßigkeiten im Gange ihrer Werte auszugleichen und etwaige Ungleichförmigkeiten der Schätzung unschädlich zu machen, teils die Berechnung der Bestimmungsstücke oder sog. Elemente des K.-G. zu erleichtern, hat man von den primären Verteilungstafeln zu den reduzierten überzugehen und diese für jene eintreten zu lassen, und ungeachtet nach gewissen Beziehungen eine primäre Tafel durch keine reduzierte ganz ersetzt werden kann, behält doch faktisch in angegebenen Beziehungen die reduzierte Tafel Vorteile vor der primären voraus, und wird es nötig, sich mit ihrer Aufstellungsweise, ihren Verhältnissen und ihrer Verwertungsweise zu beschäftigen.

    Fassen wir zuerst die Reduktion von solchen primären Tafeln ins Auge, welche so wie I bis III einen Hauptbestand mit äquidistanten a von Endabteilungen mit zerstreuten a unterscheiden lassen. Um aus einer primären Tafel dieser Art eine reduzierte herzustellen, teilt man, wie dies schon oben in § 50 vorgreiflich geschehen ist, den Hauptbestand derselben in Abteilungen, welche in ihrer a-Spalte eine gleiche Anzahl äquidistanter [nötigenfalls durch Einschiebung leerer a äquidistant gemachter), sog. nackter a enthalten, und summiert die z jeder dieser Abteilungen insbesondere. Hiernach gilt als reduziertes i die Größe des ganzen Intervalles, in welchem die Anzahl der primären a , einschließlich ihrer Umkreisintervalle, zusammengefaßt wird, als reduziertes z die Summe der z , welche auf die in dem reduzierten Intervalle enthaltenen a fallen, als reduziertes a , welchem das reduzierte z beizuschreiben ist, das Mittel zwischen den gesamten nackten a oder, was auf dasselbe hinauskommt, das Mittel aus den extremen nackten a , welche in das Intervall eingehen.

    Zur Erläuterung diene die Reduktion einer bestimmten Abteilung des Hauptbestandes der primären Tafel I, als wie:
 

    Durch Summierung der primären z erhalten wir als reduziertes z die Zahl 11, indes das reduzierte a das Mittel aus den 5 primären nackten a der betreffenden Abteilung oder, was wegen Äquidistanz derselben auf dasselbe herauskommt, das Mittel aus den äußersten a , 380 und 384, mithin 382 ist, welchem das reduzierte z = 11 beizuschreiben. Die Grenzen des reduzierten i aber sind nicht die äußersten nackten a 380 und 384, und mithin das reduzierte Intervall nicht 384 - 380 = 4, weil ja in das reduzierte Intervall auch die Umkreisintervalle der Grenz-a mit eingehen, wodurch sich das ganze Intervall nach einer und der anderen Seite um ein primäres ½ i erweitert; da nun das primäre i = 1 ist, so sind die Grenzen des reduzierten Intervalles nach einer Seite 380 - ½ = 379,5, nach der anderen 384 + ½ = 384,5, und die Größe des ganzen reduzierten Intervalles der Unterschied beider = 5.

    Während man also das reduzierte a selbst als Mittel der äußersten primären nackten a erhält, welche in die zu reduzierende Abteilung eingehen, kann man die Größe des reduzierten Intervalles nicht als Abstand zwischen beiden Grenz-a erhalten, sondern nur unter Erweiterung dieses Abstandes nach jeder Seite um ein halbes, mithin im ganzen um ein ganzes primäres i. Dies ist wohl zu beachten und nicht überall richtig beachtet worden, wie weiterhin zu bemerken.

    Wenn n äquidistante nackte a und hiermit n i in jeder Hauptabteilung der primären Tafel vereinigt sind, so ist auch das i der reduzierten Tafel das n- fache des i der primären Tafel. Nun sind in jeder Hauptabteilung von Tafel I und II je 5, in III je 4 nackte a in jeder Hauptabteilung enthalten; das primäre i bei I und II ist 1 mm, bei III ¼ Zoll; also das i der reduzierten Tafeln bei I und II gleich 5 mm, bei III gleich 1 Zoll.

    § 54. Entsprechend als bei den primären Tafeln hat man bei den reduzierten nicht anzunehmen, daß das reduzierte a selbst so oftmal vorkommt, als das ihm beigeschriebene reduzierte z besagt, sondern daß sich auf das Intervall, was durch das reduzierte a repräsentiert wird, z Werte a verteilen, welche sich zwischen den Grenzen des reduzierten Intervalles halten; und sofern auch die a der primären Tafeln im Grunde ein ganzes Intervall repräsentieren, auf welches sich ihr z verteilt, nur ein kleineres als die reduzierten a , besteht im Grunde zwischen primären und reduzierten a nur ein relativer Unterschied. Anstatt des reduzierten a aber kann in den reduzierten Tafeln auch das Intervall selbst angegeben werden, was dadurch vertreten wird, und es kommt in den bisher vorliegenden reduzierten Tafeln das eine und das andere vor, wonach ich a-Tafeln und Intervalltafeln unterscheide. Bloß wegen der etwas kürzeren Darstellung ziehe ich meist die Form der a-Tafel vor; ein sachlicher Unterschied aber besteht nicht zwischen a-Tafeln und Intervalltafeln, und man kann leicht von der einen Form auf die andere kommen, sofern das reduzierte a der a-Tafel das Mittel zwischen den Grenzen der reduzierten Intervalle ist, indes die Grenzen der Intervalle ebenso wie bei den primären Tafeln a - ½ i , a + ½ i sind, nur daß hierbei reduzierte a und i an die Stelle der primären treten, wie sich an folgendem Beispiele erläutert, worin die Reduktion nach angegebenem Prinzip durch eine Abteilung weiter fortgesetzt ist, und man hiermit folgende zu einander gehörige a-Spalte und Intervallspalte erhält:
 

    Setzen wir nun in unserem Beispiele die Reduktion nach denselben Prinzipien weiter durch Tafel I fort, so erhalten wir zu einander gehörig folgende reduzierte a- und Intervalltafel:
 

    Man sieht in diesem Beispiel, daß die Intervalle der reduzierten Tafel sich durch Zusammenfallen der zweiten Grenze jedes Intervalles mit der ersten Grenze des folgenden Intervalles ebenso aneinander schließen als die respektiven Intervallgrenzen der primären Tafeln (s. § 52).

    Nicht überall aber findet man anderwärts die Intervallgrenzen nach voriger Regel richtig angegeben, sondern mit Vernachlässigung der Umkreisintervalle die Grenz-a der reduzierten Abteilungen selbst als Intervallgrenzen angegeben, so in den sonst so schätzbaren belgischen Rekrutenmaßtafeln, was allerdings insofern berechtigt scheint, als die Erfahrung unmittelbar doch nur diese Grenz-a gibt, von denen man bei Verwertung der Tafeln leicht auf die wahren Intervallgrenzen übergehen kann; doch möchte es rätlicher erscheinen, gleich die wahren Grenzen selbst nach voriger Regel in den Tafeln zu geben. Sollte die Bezeichnung der Intervallgrenzen im Sinne der belgischen Tafeln bei unseren Tafeln geschehen, so würden wir in unserem vorigen Beispiel, die a-Tafel mit der Intervalltafel verbindend, zu setzen haben:
 

    § 55. Was wir nun vorstehends an einem Beispiel der Schädelmaßtafeln erläutert haben, wird auf alle Tafeln Anwendung finden, welche überhaupt einen Hauptbestand mit äquidistanten a haben. Machen wir aber diese Anwendung auf die Studentenmaßtafel III, so tritt eine Unbequemlichkeit ein, der sich in anzugebender Weise durch ein Verfahren begegnen läßt, das ich die Reduktion mit geteilten z nennen will. Halten wir uns dabei zur Erläuterung an die ersten zwei Abteilungen des Hauptbestandes der primären Tafel III. Sie sind:
 

Wobei i = 0, 25 Zoll.

    Reduzieren wir nun diese Abteilungen nach den bisherigen Regeln auf das Vierfache des primären i , so erhalten wir folgende mit höchst unbequemen Brüchen behaftete a- und Intervalltafel:

In der Tat ist das reduzierte a = 65,375 das Mittel aus den primären Grenz-a 65 und 65,75 und die reduzierten Intervallgrenzen 64,875 und 65,875 sind gleich dem reduzierten a = 65,375 ± dem halben reduzierten i.

    [Um dieser Unbequemlichkeit zu begegnen, beachte man, daß der Hauptbestand einer Tafel mit äquidistanten a sich nicht in scharfer Abgrenzung von den Endabteilungen mit zerstreuten a darbietet. So könnte man den Hauptbestand der Tafel III statt mit 65,0 ebensowohl mit 64,75 oder auch, nach Einschiebung leerer a , mit 64,5 oder 64,25 beginnen lassen. Eine solche Verschiebung des Hauptbestandes um ein, zwei oder drei ganze primäre i würde jedoch nicht zum Ziel führen; denn auch nach der Verschiebung würden sowohl die reduzierten a als auch die Grenzen der reduzierten Intervalle in die Mitte zwischen je zwei benachbarte primäre a fallen und nach wie vor mit den unbequemen Brüchen behaftet sein. Man beachte darum ferner, daß, wie schon mehrfach bemerkt wurde, das z der Tafel nicht dem beigeschriebenen a direkt angehört, sondern auf das ganze Umkreisintervall des a sich verteilt. Es ist somit gestattet, das primäre i zu teilen und den Teilintervallen proportionale Anteile an dem z zu überweisen. Insbesondere kann man das primäre i halbieren, so daß an Stelle des Intervalles mit den Grenzen a - ½ i , a + ½ i zwei Intervalle mit den Grenzen a - ½ i , a und a , a + ½ i treten, deren jedem ½ z zugehört. Geschieht letzteres in der primären Tafel III, so erhält man beispielsweise an Stelle von:
 

Läßt man jedoch den Hauptbestand mit 64,5 als Intervallgrenze beginnen, so erhält man:

    Auf diese Weise, durch Verschiebung und Teilung der Intervalle, kann stets erreicht werden, daß mindestens die Intervallgrenzen oder die a-Werte der reduzierten Tafel ganzzahlig werden, falls nur das reduzierte i gleich der zu Grunde liegenden Maßeinheit oder ein Vielfaches derselben ist.]

    § 56. Nun gibt es aber auch Tabellen, wie Tafel IV für die Roggenähren, wo die Maße sich durch die ganze Tabelle sehr zerstreuen, wo ein Hauptbestand mit äquidistanten a von vornherein nicht vorhanden ist und nur durch eine praktisch kaum durchführbare Einschaltung unzähliger leerer a hergestellt werden könnte. Dann wird man wie folgt zu verfahren haben.

    Zunächst hat man sich nach den alsbald (§ 60) aufzustellenden Gesichtspunkten zu entscheiden, auf ein wie großes i man reduzieren will. Um einen nahehin regelmäßigen Gang der Werte z zu erhalten, wird man bei unserer Tafel mit i nicht unter vier Maßeinheiten gehen dürfen. Gehen wir nun, um das erste primäre a = 42,9 noch in das erste reduzierte Intervall einzuschließen, mit dessen erster Grenze so weit zurück, daß dieser Zweck erreicht wird, wozu genügt, die erste Grenze des ersten red. Intervalles = 42 anzunehmen, indem dann 42,9 in das erste Intervall 42 – 46 fällt ¹⁾ . Das reduzierte z dieses Intervalles ist dann die Summe der primären z , die in das Intervall 42 – 46 fallen, d.i. 1, das red. A die Mitte zwischen 42 und 46, also 44. Das zweite red. Intervall ist hiernach 46 – 50, worein wieder nur ein z fällt, mithin das red. z = 1 ist, u. s. f., was von vornherein folgende reduzierte Tafel gibt:

Wenn eine der Intervallgrenzen zufällig mit einem a der primären Tafel zusammenfällt, so ist nur das halbe primäre z dieses a in das reduzierte z des Intervalles einzunehmen, indem das andere halbe z (wie nach der Methode der geteilten z) dem Nachbarintervall angehört.
 

    ¹⁾ Zu demselben Zwecke könnte man auch noch weiter mit der ersten Grenze zurückgehen, bis 41, bis 40, bis 39, wo dann die ersten Intervalle respektiv sein würden 41–45, 40–44, 39–43. In jedes derselben aber fiele 42,9. Dies gibt verschiedene Reduktionslagen, wovon nachher; jedenfalls aber genügt schon 42 als erste Intervallgrenze dem Zwecke.
 

    § 57. Kommen wir jetzt auf Verteilungstafeln wie I, II, III zurück, in denen sich ein Hauptbestand mit äquidistanten a der a-Spalte von Endabteilungen mit zerstreuten a unterscheiden läßt, so ist noch anzugeben, wie mit letzteren zu verfahren. Dies kann in doppelter Weise geschehen. Entweder a ) macht man die a der Endabteilungen durch Einschaltung leerer a ebenso äquidistant, als es in den Hauptabteilungen der Fall ist, und reduziert sie hiernach ganz nach vorigen Prinzipien, da sie sich danach von den Hauptabteilungen prinzipiell nicht mehr unterscheiden; oder b ) man setzt die Reduktion durch die Endabteilungen nicht fort, sondern begnügt sich mit Bauschangaben darüber. Letzteres Verfahren ist, soviel ich sehe, bisher das allein übliche, das erstere aber das aus anzugebenden Gründen vorzuziehende und künftig von mir allein befolgte.

    So sieht man überall nach Verfahren b ) bei Rekrutenmaßen dem reduzierten Hauptbestande die Bauschangabe der Zahl von Maßen vorangehen, welche kleiner als die erste Grenze des reduzierten Hauptbestandes sind, und die Tabelle mit der Bauschangabe der Zahl von Maßen schließen, welche größer als die zweite Grenze des reduzierten Hauptbestandes sind, ohne Spezifikation dieser Maße: worauf man sich aber doch nicht beschränken sollte, da man danach zwar noch den Zentralwert, aber nicht mehr das arithmetische Mittel bestimmen kann, anderer Nachteile nicht zu gedenken; vielmehr sollte, wenn man überhaupt auf die Durchführung der Reduktion durch die Endabteilungen verzichten will, außer der Summe der Anzahl der Maße auch die Summe der Maße selbst, welche in den Endabteilungen enthalten sind, angegeben werden, und nicht unzweckmäßig wird man die primären Extreme hinzufügen. Bezeichnen wir also einerseits als Vorzahl v und Vorsumme V die Zahl (åz) und Summe (åaz) der primären a , welche kleiner als die erste Grenze des reduzierten Hauptbestandes sind, andererseits als Nachzahl n und Nachsumme N die Zahl und Summe der primären a , welche größer als die zweite Grenze dieses Bestandes sind, als E,und E' das kleinste und größte a der ganzen primären Tafel überhaupt, so ist der reduzierte Hauptbestand noch durch Angabe von v , V , n , N , E,, E' zu ergänzen, wodurch man die Tabelle brauchbarer macht, aber freilich dafür an dem Vorteil der Kürze, den nur das reine b -Verfahren gewährt, einbüßt.

    Das Verfahren a ) aber ist nicht nur methodischer, indem sich danach die Reduktion der ganzen primären Tafel ohne die immer etwas willkürliche Abgrenzung zwischen Hauptbestand und Endabteilungen und ohne eine Ergänzung letzter Art nach demselben Prinzip durchführen läßt, sondern streng genommen sind auch nur so reduzierte Tafeln für die vorzunehmenden Verteilungsrechnungen brauchbar.

    Führe ich nun nach diesem Prinzip die Reduktion auf ein i = 5 mm durch die ganzen Tafeln I und II durch, mit Rücksicht, durch Einschaltung leerer a nicht nur die a der ganzen Tabelle äquidistant zu machen, sondern auch dem ersten primären geltenden a so viele leere a vorangehen zu lassen, daß das erste primäre a (bei I 368, bei II 481) noch in das erste reduzierte Intervall hineinfällt, so kann man zur Erfüllung dieser Bedingung je nach der gewählten Reduktionslage 1, 2, 3 oder 4 leere a vorangehen lassen und wird, wenn man beispielsweise zwei vorangehen läßt, die ersten durch leere a ergänzten Abteilungen der primären Tafel I so zu schreiben haben:
 
 

Entsprechend werden wir bei Tafel II die zwei ersten durch leere a ergänzten Abteilungen so zu schreiben haben:
 

hiernach als Anfang der reduzierten Tafel:

    § 58. Führen wir nun diese Reduktion durch die ganzen Tafeln I und II durch, so erhalten wir unter Beschränkung auf die Form der a-Tafeln folgende reduzierte Tafeln, deren jeder eine für späteren Gebrauch sehr nützliche Spalte S,beigefügt ist, welche dadurch entsteht, daß man die z der z-Spalte vom Anfang herein bis zu dem a (inkl.) der a-Spalte, wozu das betreffende S,gefügt ist, summiert:

    Der Vergleich vorstehender reduzierter Tafeln mit den primären, aus denen sie entstanden sind, gibt zu folgenden Bemerkungen von allgemeiner Tragweite Anlaß.

    Verstehe ich überhaupt unter einem regelmäßigen Gange der z einen solchen, daß sie mit aufsteigenden a ohne Unterbrechung durch Absteigen bis zu einem Maximum wachsen, von da an aber ebenso ohne Unterbrechung durch Aufsteigen wieder abnehmen, hiermit eine glatte Verteilungskurve im Sinne von § 17 geben, so zeigen sämtliche reduzierte Tafeln auf den ersten Blick gegen die primären, aus denen sie abgeleitet sind, den auffälligsten Vorteil der Regelmäßigkeit. Und erst nachdem der Gang der Werte durch die Reduktion mindestens um die Mitte herum regelmäßig geworden ist, wird sich von einer Gesetzlichkeit derselben sprechen, dieselbe bestimmen oder eine voraussetzliche Gesetzlichkeit daran prüfen lassen.

    Daß I zwei benachbarte gleiche Maximal-z zeigt, ist nur zufällig und steht dem regelmäßigen Gange nicht im Wege, wie es der Fall sein würde, wenn sie durch zwischenliegende a mit kleinerem z geschieden wären. II hat, wie gewöhnlich, nur ein Maximal-z. Näher zugesehen, zeigt I nur noch nach einem Ende hin eine unbedeutende Ausnahme vom regelmäßigen Gange, sofern die z = 17 und 19 ihre Größe vertauschen müßten, um sich richtig zu folgen; und selten fehlt es gegen die Enden hin ganz an solchen kleinen Unregelmäßigkeiten, ohne daß bei Verwertung der Tafeln viel darauf ankommt, um so mehr, wenn solche in der Gegend des dichtesten a , d. h. was das größte z hat, stattfinden; und verstehen wir der Kürze halber unter Kern der Tafel das dichteste a mit seinen zwei höheren und zwei tieferen Nachbar-a , so werden wir vorzugsweise von diesem Kerne Regelmäßigkeit zu fordern haben, um unsere Normalgesetze der Verteilung mit befriedigender Approximation bestätigt zu finden. Während nun der Kern von I, der sich wegen des doppelten Maximal-z auf sechs a erstreckt, der Bedingung der Regelmäßigkeit genügt, ist dies bezüglich II nach oben hin (nach den kleineren Maßen zu) nicht der Fall, und auch nach unten zu folgt die Zahl 43 unrichtig gegen die Grenzzahl 39 des Kernes.

    Hiernach läßt sich von vornherein schließen, daß die Tafel II für Horizontalumfang sich der normalen Verteilungsweise weniger gut fügen und weniger geeignet zur Bewährung der Normalgesetze sein wird, als Tafel I für Vertikalumfang.

    § 59. Nun aber reicht es hin, Tafel I und II auf das doppelte i als vorhin, statt auf 5mm auf 10mm zu reduzieren, um beide Tafeln ausnahmslos regelmäßig zu machen, was sehr einfach dadurch geschehen kann, daß man je zwei sukzessive a der auf i = 5 mm reduzierten Tafeln zu ihrem Mittel und ihre zugehörigen z zur Summe vereinigt. Geschieht dies mit der Tafel I (§ 58) von oben herein, so bleibt wegen der unpaaren Zahl der nackten a dieser Tabelle das a = 448 mit z = 2 übrig; es hindert aber nichts, die a-Tafel über 448 hinaus konsequent fortzuführen, indem man zu dem a = 448 ein um 5mm größeres a = 453 mit z = 0 hinzufügt; das mittlere a zwischen 448 und 453 gibt dann ein reduziertes a = 450,5 mit einem reduzierten z = 2. In der Tat erhält man folgende Tafeln:

    Aus den vorigen Tafeln wird man, nach demselben Prinzip, auf i = 20 mm reduzierte Tafel ableiten können, u. s. f., was ich als verschiedene Reduktionsstufen bezeichne. Mit jeder neuen Reduktionstufe verkleinert sich die Tafel, bis man zuletzt auf ein einziges red. a mit einem einzigen red. z kommt.

    Um dies nur für Tafel I durchzuführen, so erhält man bei Reduktion respektiv auf 20, 40 mm u. s. f. aus der Reduktion für i = 5 mm folgende a-Tafeln:

                                                     20 mm                       40 mm                     80 mm                  160 mm

Und so wird man überhaupt, wenn bei Reduktion auf ein gegebenes i noch kein regelmäßiger Gang der Werte z , zu erlangen ist, durch Vergrößerung des i zu einem solchen gelangen oder sich doch demselben nähern können. Und, wie leicht zu erachten, besteht gleich von vornherein die Möglichkeit der Reduktion auf ein verschieden großes i. Wir hätten ja bei I und II das primäre i gleich bei der ersten Reduktionsstufe um mehr oder weniger als das fünffache, bei III um mehr oder weniger als das vierfache i steigern können, indem wir mehr oder weniger äquidistante (resp. durch Einschieben leerer a äquidistant gemachte) primäre a dazu zusammennahmen. Es handelt sich also um Gesichtspunkte, welche die Wahl in dieser Hinsicht bestimmen können. Ganz allgemeine und feste für jeden sich darbietenden besonderen Fall lassen sich nun nicht wohl geben, doch folgende aufstellen, welche die Wahlfreiheit bis zu gewissen Grenzen beschränken und regeln können.

    § 60. Es findet ein gewisser Konflikt zwischen den Vorteilen und Nachteilen der Vergrößerung oder Verkleinerung des Reduktions-i statt. Aus gewissen Gesichtspunkten ist es am vorteilhaftesten, das i möglichst klein zu halten, weil nach schon früher (§ 5) gepflogener Erörterung die idealen Verteilungsgesetze streng genommen diesen Fall voraussetzen, und in dieser Hinsicht verdient sogar die primäre Tafel den Vorzug vor jeder reduzierten, die stets ein Vielfaches des primären i enthält; ja am besten wäre, wenn man das i der primären Tafel selbst auf unendliche Kleinheit reduzieren könnte, was nun freilich nicht geht. Auch trägt folgender Umstand bei, unter sonst gleichen Umständen die Reduktion auf kleine i der Reduktion auf größere vorziehen zu lassen. Soll der Umstand, daß die auf ein gegebenes a geschriebene Zahl z eigentlich einem ganzen Intervall zugehört, welches bei primären wie reduzierten Tafeln mit der Größe des i wächst, bei Bestimmung der Elemente erforderlich berücksichtigt werden, so muß, was später (Kap. IX) auszuführen, Interpolation des betreffenden Intervalles zu Hilfe genommen werden, und muß man womöglich die Intervalle klein genug halten, daß man mit einfacher Interpolation ausreicht; denn die Kollektivmaßlehre würde praktisch fast undurchführbar werden, wenn man zur Bestimmung aller Elemente und der Vergleiche zwischen Rechnung und Beobachtung überall Interpolation mit zweiten Differenzen zuziehen müßte. Und obschon ich das Verfahren dazu später angeben werde, habe ich doch im allgemeinen nicht davon Gebrauch gemacht, nachdem ich bei Beschränkung auf die angewandten Größen des i keinen die Mühseligkeit des Gebrauches und Umständlichkeit der Darstellung vergeltenden Vorteil davon zu erlangen vermochte.

    Dem entgegen kann die Ausgleichung der Zufälligkeiten, welche den regelmäßigen Gang der z in der primären Tafel stören und dem Vergleiche mit dem gesetzlich geforderten Gange im Wege stehen, doch nur durch Reduktion und hiermit Vergrößerung des i erzielt werden, und ein nicht zu großes i schadet in dieser Beziehung viel weniger als eine zu große Unregelmäßigkeit. Hiernach wird man im ganzen am besten tun, das i so groß und doch nicht größer zu nehmen, als daß ein regelmäßiger Gang mindestens innerhalb des Kernes der reduzierten Tafel stattfindet; denn Unregelmäßigkeiten im Gange der äußersten kleinen z haben überhaupt auf die Bestimmung der Elemente und gesetzlichen Verhältnisse keinen erheblich störenden Einfluß. Wo nun aber, wie bei unseren drei ersten Beispielstafeln, zu den Unregelmäßigkeiten wegen unausgeglichener Zufälligkeiten noch solche wegen ungleichförmiger Schätzung treten, tritt noch die besondere Bedingung hinzu, das i nicht kleiner und mithin die Zahl der zusammenzufassenden äquidistanten a nicht geringer zu nehmen, als es der Periode der ungleichförmigen Schätzung entspricht, und bei Vergrößerung des i dieses nur nach ganzen Multiplis davon zu tun, weil nur unter dieser Bedingung auf Ausgleichung der Fehler wegen ungleichförmiger Schätzung zu rechnen ist. Nun kehren bei den Schädelmaßen der Tab. I und II nach § 51 die Maximalmaß-z nach je 5 um 1 mm fortschreitenden a , bei den Studentenrekrutenmaßen der Tab. III nach je 4 um 0,25 Zoll fortschreitenden a der primären Tafel wieder, also kann die Reduktion auf das kleinste statthafte i bei I und II nur auf i = 5mm, bei III nur auf 1 Zoll geschehen, wie das in den Tabellen (§ 58 und § 62) der Fall ist; auf ein größeres i aber einzugehen, hätte man nur dann Anlaß, wenn damit noch kein regelmäßiger Gang der reduzierten z zu erzielen wäre.

    § 61. Obwohl man nun aus angegebenen Gründen keinen Anlaß finden wird, bei Bearbeitung unserer Beispielstafeln zu diesen höheren Reduktionsstufen fortzuschreiten, kann es doch ein Interesse haben, an denselben zu sehen, wiefern überhaupt von einem solchen Fortschritt eine Änderung der Elemente zu erwarten ist, und ich gebe hiernach zuvörderst für Tafel I folgende Tabelle der wichtigsten Elemente je nach ihrer Ableitung aus verschiedenen Reduktionsstufen. Die Bestimmung von D_p ist wegen ihrer Umständlichkeit bloß für die zwei ersten Reduktionsstufen geschehen. Nach Änderung der Hauptwerte ändern sich natürlich auch die davon abhängigen Abweichungsfunktionen; u , u und p haben die früher (§ 10 und § 33) angegebene Bedeutung, woraus µ' , µ,,m' , m,mit Zuziehung der Totalzahl m in angegebener Weise zu folgern ist. Die Ableitung von m' , m,und demgemäß von u, sowie von e', e,ist überall von D_p aus, nicht von D_i aus geschehen. Das aus der primären Tafel abgeleitete A, d. i. A₁, ist in der Überschrift mit angegeben. Alle Elemente sind nach der sog. scharfen Methode der Kap.IX und X mit einfacher Interpolation des Eingriffsintervalles abgeleitet. Ganz entsprechend sind alle weiter folgenden Tafeln der Elemente zu verstehen.

    ^{2 )} Es könnte als Versehen erscheinen, dass C₂ für i = 10 ganz denselben Wert als für i = 5 erhalten hat. [Es rührt dies jedoch daher, daß das Intervall, in welches C₂ für i = 10 fällt, ein doppelt so großes z besitzt als das Intervall, in welches C₂ für i = 5 fällt, was durch die beiden benachbarten gleichen Maximal-z der Reduktions-stufe i = 5 bedingt wird.]

    Man sieht, daß, abgesehen von der letzten hier berücksichtigten Reduktionsstufe, auf i = 40, wo die reduzierte Tafel auf drei Werte zusammenschrumpft, die Hauptwerte je nach der Reduktionsstufe nur um zu vernachlässigende und zufällig scheinende Größen von einander abweichen; wogegen u , u und mithin µ ,, µ' , m,,m' sich nicht unerheblich danach ändern, woraus zu folgern ist, daß, wenn es sich nur um Bestimmung der Hauptwerte handelt, auf die Reduktionsstufe nicht viel ankommt, wenn man nur nicht bis zu den höchsten Graden damit geht; wogegen die Verteilungsrechnungen von den Reduktionsstufen wesentlich influiert werden müssen, und man also auch aus diesem Grunde wohl tun wird, sofern es gilt, beobachtete mit berechneter Verteilung zu vergleichen, bei der möglichst niedrigen Stufe, welche noch eine regelmäßige Verteilung im Kerne gibt, stehen zu bleiben. Wo nun die niedrigste Stufe nicht durch Rücksicht auf eine etwa vorhandene ungleichförmige Schätzung bedingt ist, wie bei Tafel I, II und III, ist man auch nicht gebunden, das erst gewählte i gerade zu verdoppeln, um zum Zwecke eines regelmäßigen Kernes zu gelangen, was nur den formalen Vorteil hat, daß man die höhere Stufe einfach aus der vorherigen niederen Stufe ableiten kann. Wenn man aber einen regelmäßigen Kern mittelst einer schwächeren Reduktion als durch Verdoppelung des vorherigen i erlangen kann, so wird man nicht zu dieser Verdoppelung greifen, muß aber dann zur Ableitung der betreffenden Reduktion auf die primäre Tafel zurückgehen.

    § 62. Um nun zu sehen, wie sich diese Resultate bei anderen K.-G. unter anderen Bedingungen wiederfinden, wenden wir uns von Tafel I, welche für Schädelmaße mit m = 450 gilt³⁾, zu Tafel III für Studentenrekrutenmaße mit m = 2047.
 

    ^{3 )} Tafel II übergehe ich, nicht nur, weil sie analoge Verhältnisse als I darbietet, sondern auch, weil sie wegen Unregelmäßigkeit im Kerne der primären Tafel weniger sicheren Anhalt bietet.
 

    Bei Tafel I waren wir durch das Verhalten der ungleichförmigen Schätzung genötigt, das primäre i = 1 mm bei der ersten Stufe auf das Fünffache zu reduzieren; bei Tafel III sind wir aus demselben Grunde gehalten, das primäre i = 0,25 Zoll auf das Vierfache, d. i. 1 Zoll zu reduzieren, wobei aus dem oben § 55 angegebenen Grunde das Verfahren mit geteilten z anzuwenden ist. Dies gibt, wenn wir von einer solchen Lage der ersten Reduktion ausgehen⁴⁾, daß die a derselben ohne Bruch auftreten, folgende Verteilungstafeln und Elemente.
 

    ^{4 )} Die Möglichkeit verschiedener Reduktionslagen wird weiterhin besprochen.
 
 

                                              i = 1 Zoll                    i = 2 Zoll                 i = 4 Zoll                     i = 8 Zoll

    Wie man sieht, bestätigen sich durch diese Tabelle die aus den Reduktionsstufen für I gezogenen Schlüsse.

    § 63. Was Tafel IV bezüglich der Roggenähren mit m = 217 anlangt, so habe ich durch mehrfache Versuche gefunden, daß man, um zu einem regelmäßigen Kern zu gelangen, nicht wohl unter ein reduziertes i = 4 E herabgehen kann, wo E = 0,5 cm ist; was, bei Beginn der Tafel mit einem reduzierten a = 42, folgende Resultate gibt:
 
 

    Hieraus begnüge ich mich, nur die Hauptwerte abzuleiten, welche ebenfalls eine sehr geringe Änderung je nach der Reduktionsstufe zeigen.
 
 

    ^{5 )} [Die Übereinstimmung der Werte von A₂ für i = 8 und i = 16, sowie von C₂ für i = 4 und i = 8 ist durch die Beschaffenheit der Tafel IV begründet, und zwar folgt die Gleichheit der beiden A₂ daraus, dass in der Reduktionsstufe i = 8 die Summe des ersten, dritten, fünften z u.s.w. zufällig gleich der Summe des zweiten, vierten z u.s.w. ist, während die gleichzahligen z der Stufe i = 4 (für a = 82 und 86) die Gleichheit der beiden C₂ bedingen.]
 

    § 64. Inzwischen außer der Wahl zwischen den Reduktionsstufen handelt es sich nach schon gemachter Bemerkung noch um die Wahl zwischen den Reduktionslagen.

    Die Verschiedenheit der Reduktionslagen beruht darauf, daß, je nachdem man den Ausgangswert des Zusammennehmens der primären nackten a ändert, die reduzierte Tafel verschieden ausfällt. Betrachten wir dies zuerst in Bezug auf den Hauptbestand der primären Tafel I. Das Zusammennehmen der a begann im Beispiele § 53 mit dem ersten a = 380 der ersten Hauptabteilung, und wir erhielten damit als reduziertes a 382 mit dem reduzierten z = 11. Gehen wir nun konsequent damit vor, so wird die Reduktion der zweiten Hauptabteilung mit den fünf nackten a 385, 386 flg. ein reduziertes a = 387 mit dem reduzierten z = 25 geben. Nun hindert aber nichts, den Anfang des Zusammennehmens von je fünf nackten a um ein a vorzuschieben, womit andere zu reduzierende Abteilungen entstehen, nämlich, um bei den zwei ersten stehen zu bleiben:
 

woraus folgt:

    Im ganzen sind so viele Reduktionslagen möglich, als die Zahl der primären a oder i beträgt, welche in dem i der Reduktionsstufe zusammengefaßt werden. Sofern nun das i = 1mm der primären Tafel I in der ersten Reduktionsstufe auf i = 5 mm gesteigert ist, sind hier fünf Reduktionslagen möglich, bei Reduktion auf 10 mm würden zehn Lagen möglich sein u. s. f.. Und wenn wir im Sinne der Methode a) die primären Endabteilungen durch Ergänzung mit leeren a in einheitlichem Zusammenhange mit den Hauptabteilungen behandeln, so dehnt sich die betreffende Zahl der Reduktionslagen mit auf diese aus.

    Um nun die möglichen Reduktionslagen einer gegebenen Reduktionsstufe zu erschöpfen, haben wir nicht nur die Lücken zwischen den primären a durch leere a zu ergänzen, sondern auch hinter das erste geltende a so weit und in so vieler Weise mit leeren a zurückzugehen, daß das erste geltende a noch unter den zusammenzunehmenden a mit enthalten ist, d. i. bei fünf möglichen Lagen je nach der Lage respektive mit vier, mit drei, mit zwei, mit einem leeren a. Also werden wir in TafelI, wo 368 das erste geltende a mit z = 1 ist, für die erste Lage zu setzen haben:
 

mit red. a = 366 als Mitte zwischen 364 und 368, und. red. z = 1 als Summe der in dem red. Intervall enthaltenen z; bei der zweiten mit Vorschiebung um ein a:
 

mit red. a = 367, red. z = 1, u. s. f., was durchgeführt folgende fünf Lagen gibt:

    Um die verschiedenen Lagen zu unterscheiden, dürfte man sich am einfachsten der Bezeichnung durch den Anfang der reduzierten Tafel, d. i. des kleinsten reduzierten a oder reduzierten E, bedienen, wonach also die erste der obigen Reduktionslagen durch E,= 366, die zweite durch E,= 367 u. s. f. zu bezeichnen ist.

    [Der Einfluß der Reduktionslage auf die Werte der Elemente wird aus folgender Tabelle ersichtlich:]
 

    Man bemerke, daß das A₁der primären Tabelle gleich 408,5, und daß die A₂bei sämtlichen fünf Lagen hiervon und mithin von einander nur wenig abweichen, im Mittel aber ganz mit A₁ stimmen. Ebenso zeigen die anderen Hauptwerte je nach der verschiedenen Lage nur wenig Verschiedenheit; etwas abweichender zeigen sich die Abweichungszahlen und Abweichungssummen und daraus folgenden mittleren Abweichungen.

    Doch kann man schon bemerken, daß, so wenig sich die Werte A, C, D derselben Lage unterscheiden, sie doch bei allen Reduktionslagen in derselben Ordnung auftreten. Es ist nämlich D größer als A , und C fällt zwischen beide Werte, wie es durch die Asymmetriegesetze gefordert wird. Auch tritt die Asymmetrie schon dadurch deutlich hervor, daß überall m, > m¢ ist; ja es erfüllt sich auch die für den Fall der Asymmetrie geltende Forderung, daß p = (D - C) : (D - A) sehr approximativ = ¼p = 0,785 ist.

    § 65. Während wir nun solchergestalt bei Tafel I vermöge Steigerung des primären i auf das Fünffache die Möglichkeit von fünf verschiedenen reduzierten Tafeln erhalten, erhalten wir bei III wegen Steigerung auf das Vierfache die Möglichkeit von vier Reduktionslagen.

    Man sieht, daß sich die Resultate der vorigen Tabelle I durch die der Tabelle III bestens bestätigen. Auch hier zeigt sich D_iüberall mit D_p fast genau stimmend, mit Ausnahme der Lage E,= 59,5, wo ganz exzeptionell D_i nicht nur verhältnismäßig stark von D_p abweicht, sondern auch entgegen der Richtung der wesentlichen Asymmetrie kleiner als A₂ und C₂ ist.

    § 66. [Da für Tafel IV das durch ihre Unregelmäßigkeiten bedingte reduzierte i = 4 E , das primäre i aber = 0,1 E ist, so sind hier im Grunde 40 Reduktionslagen möglich. Von denselben sollen die folgenden vier Lagen ausgewählt werden:

Auch diese Tabelle zeigt bei stärkerem Auseinanderweichen der Hauptwerte als in I und III die relative Konstanz der Hauptwerte und Abweichungsfunktionen in den verschiedenen Lagen, die Gesetzmäßigkeit in der Aufeinanderfolge von A , C und D , sowie die Nähe von D_i und D_p . Indessen ist p durchweg kleiner als der theoretisch geforderte Wert 0,785.]

    § 67. Es entsteht nun die Frage, an welche der verschiedenen Reduktionslagen man sich bei Ableitung der Elemente oder Prüfung der aufgestellten Gesetze zu halten habe, worüber sich wieder ganz allgemeine, feste Regeln nicht geben lassen dürften, wohl aber folgendes allgemein zu sagen sein wird.

    Zunächst läßt sich an dem Aussehen unserer Tafeln selbst zeigen, daß bei so großen m , als unseren Tafeln unterliegen, die Änderungen der Elemente je nach der Reduktionslage nur unerheblich und im allgemeinen von der Ordnung der Unsicherheit sind, die an der Bestimmung der Elemente überhaupt zulässig ist, so daß es mit Rücksicht hierauf ziemlich gleichgültig erscheint, an welche Reduktionslage man sich halten wird, und nur die Regel zu beobachten hat, alle Elemente, die in Untersuchung genommen werden sollen, aus derselben Reduktionslage zu bestimmen. Mitunter aber kommt es vor, daß unter verschiedenen Reduktionslagen die eine oder andere einen Nachteil gegen die übrigen in betreff des regelmäßigen Ganges der z zeigt, wie denn z. B. unter unseren fünf Tafeln I (§ 64) die letzte mit E,= 370 eine Abweichung von der Regelmäßigkeit gibt, sofern sie die Folge der reduzierten z : 55,50,73 erhält, statt daß die z bis zum Maximum 73 ununterbrochen steigen sollten. Alle übrigen vier Tafeln zeigen dagegen nichts der Art und sind daher jener vorzuziehen. Dies macht nun darauf aufmerksam, daß man, wenn man zufällig einen Kern mit unregelmäßigem Gange getroffen hat, nachsehen kann, ob man nicht mit einer anderen Lage besser fahre. Überhaupt wird beim Vergleiche verschiedener Reduktionslagen diejenige zu wählen sein, welche die geringste Abweichung von den allgemeinen Verteilungsgesetzen zeigt. Jeder Wahl könnte man sich übrigens dadurch entschlagen, daß man die möglichen Reduktionslagen sämtlich in Rechnung bringt und das Mittel aus den Resultaten zieht, nur daß dies mühsam durchzuführen ist und wenig lohnende Umständlichkeiten mit sich führen würde.

    Werfen wir jetzt einen vergleichenden Blick auf den Wert primärer und daraus abgeleiteter reduzierter Tafeln, so ergibt sich, daß für vollständige Behandlung eines K.-G. beide sich vielmehr zu ergänzen als zu ersetzen haben, wonach nur zu bedauern ist, daß der große Raum, den primäre Tafeln im allgemeinen einnehmen, meist nötigt, auf ihre Mitteilung zu verzichten und sich bei reduzierten zu begnügen. Jedenfalls hat man in der primären Tafel die direkte erfahrungsmäßige Unterlage für die ganze Behandlung eines gegebenen K.-G., und da die Reduktion nach der Größe des i , der Lage der Intervalle, nach ganzen und halbierten z so oder so vorgenommen werden kann, bleibt jedem bei Vorliegen der primären Tafel noch freigestellt, welche Wahl er treffen will, und behält er die Möglichkeit, eine schon getroffene Wahl danach noch abzuändern und zu kontrollieren. Auch kann der arithmetische Mittelwert durch keine reduzierte Tafel ebenso sicher erhalten werden als aus der primären, mag auch der Unterschied bei vielzahligen Gegenständen zu vernachlässigen sein. Hiergegen kann man bei Verfolgung des gesetzlichen Ganges der Werte eines K.-G. eine allgemeine Reduktion der Tafel und bei Bestimmung der Elemente, welche an lokalen Unregelmäßigkeiten in besonderer Weise beteiligt werden, eine lokale Reduktion überhaupt nicht entbehren, und die Reduktion der Tafel wird jedenfalls den Vorteil haben, eine Regelmäßigkeit zum Vorscheine zu bringen, die in der primären Tafel nicht sichtbar ist.