V. Gauss'sches Gesetz der zufälligen Abweichungen (Beobachtungsfehler) und dessen Verallgemeinerungen.

    § 24. Nachdem GAUSS1) das Grundgesetz der sog. Beobachtungsfehler, d. i. der zufälligen Abweichungen von Beobachtungsmitteln, nicht nur theoretisch aufgestellt hat, sondern auch dasselbe von BESSEL2) an astronomischen Daten empirisch bewährt worden ist, ließ sich vermuten, daß es bloß gelte, dies Gesetz auf die zufälligen Abweichungen der Exemplare a eines K.-G. von ihrem arithmetischen Mittel A, also auf die Q bezüglich dazu, zu übertragen, um dafür das Entsprechende wie für die Beobachtungsfehler zu haben, d. h. damit ein Gesetz zu haben, welches gestattet, nach empirischer Feststellung des arithmetischen Mittels und eines Hauptabweichungswertes bezüglich dazu, als wie der mittleren Abweichung e = åQ : m, die ganze Verteilung eines K.- G. nach Maß und Zahl zu bestimmen, d. i. zu bestimmen, in welchem Verhältnisse zur Gesamtzahl m (vorausgesetzt, daß diese nicht zu klein ist) Exemplare in irgend welchen Größengrenzen der Abweichung vom Mittel vorkommen.

    1) [Theoria motus corporum coelestium, 1809. Lib. II, Sect. III. — Theoria combinationis observationum erroribus minnimis obnoxiae; Commentationes societ. reg. Scient. Götting. rec. Vol. V. 1823.]
    2) [Fundamenta astronomiae, 1818; Sect. II. ]

    Da wir nun bei der Aufgabe, ein allgemeines Verteilungsgesetz für K.-G. zu finden, jedenfalls von dem GAUSS'schen Gesetze (kurz G. G.) werden auszugehen, wiederholt darauf zurück zu kommen haben, und es in der Tat in gewisser Beschränkung für K.-G. annähernd zulänglich finden, nur schließlich einem allgemeineren Gesetze sich unterordnen werden sehen, so wird hier Einiges über dies Gesetz vorauszuschicken sein. Fach-Astronomen und Physikern ist es zwar längst bekannt und geläufig, indem sie auf Grund desselben den bei Bestimmung eines Beobachtungsmittels gemachten wahrscheinlichen Fehler berechnen; aber ich habe hier auch andere Kreise der Leser und andere Verwendungsweisen des Gesetzes vorauszusetzen und gehe deshalb zunächst, anstatt von dem unpopulären Integralausdrucke des Gesetzes, von dem leicht verständlichen tabellarischen Ausdrucke aus, in den sich dasselbe übersetzen läßt und für die praktische Verwertung ohnehin überall übersetzt werden muß. Später (Kap. XVII) wird auf dasselbe im Ausgange von seinem Integralausdrucke zurückgekommen werden; für jetzt wird das Folgende genügen.

    Was darin vom Gesetze ausgesagt wird, sind nur wesentliche Bestimmungen desselben in dem, § 4, besprochenen Sinne; denen man aber, insoweit überhaupt das Gesetz besteht, um so näher zu kommen erwarten darf, je mehr sich die Zahl der Werte und mithin Abweichungen, worauf es bezogen wird, vervielfältigt. Besprechen wir nun dasselbe gleich in seiner Anwendung auf Kollektivabweichungen. Nach der Konvention, § 10, kann der allgemeine Ausdruck Q in Bezug auf A mit D , und e mit h vertauscht werden; doch bleiben wir hier bei den allgemeinen Ausdrücken stehen.

    § 25. Der allgemeine Sinn des GAUSS'schen Gesetzes ist nach schon oben gemachter Andeutung der, unter Voraussetzung einer symmetrischen Wahrscheinlichkeit der Abweichungen bez. des arithmetischen Mittels A und eines großen, streng genommen unendlichen m, was der Ableitung des A zu Grunde liegt, die relative oder absolute Zahl der Abweichungen Q und hiermit abweichenden a zu bestimmen, welche zwischen gegebenen Abweichungsgrenzen enthalten ist, mit Rücksicht, daß diese Bestimmung empirisch durch unausgeglichene Zufälligkeiten um so mehr alteriert werden kann, je kleiner das der Ableitung des A zu Grunde liegende m und hiermit das m dieser Abweichungen selbst ist.3) Kurz das G. G. ist ein Verteilungsgesetz der Abweichungen und hiermit abweichenden a unter obigen Voraussetzungen.
 

    3) Es kann auch der Fall vorkommen, daß das A aus einem großen m abgeleitet ist, aber die Verteilungsverhältnisse nur für eine kleine Zahl von Abweichungen untersucht werden, doch abstrahiere ich hier von diesem uns wenig interessierenden, zusammengesetzten Fall.
 

    Man habe also einen vielzahligen K.-G. vor sich, welcher den im vorigen Kapitel angegebenen Requisiten genügt, habe aus den, bemerktermaßen mit a zu bezeichnenden, Exemplaren das arithmetische Mittel A = åa : m gezogen, habe die positiven und negativen Abweichungen ± Q aller einzelnen a von A genommen und aus der Gesamtheit der Q ohne Rücksicht auf ihr Vorzeichen, d. i. aus ihren absoluten Werten, das Mittel e = åQ : m gezogen, so hat man darin nach schon früher gegebenen Erklärungen die sog. einfache mittlere Abweichung bez. A, die hier als mittlere Abweichung schlechthin gilt.

    § 26. Um nun die Anwendung des Gesetzes zuerst an seiner Aussage für einen bestimmten Fall zu erläutern, so soll die Zahl der Abweichungen gefunden werden, welche von A an, d. i. von Q = 0 bis zu einer Abweichungsgrenze Q= 0,25 e reicht, oder, was sachlich dasselbe ist, welche von Q : e = 0 bis Q : e = 0,25 reicht, so findet sich diese Zahl nach einer Tabelle, in welche sich das G. G. übersetzen läßt, gleich 15,81 p. C. der Gesamtzahl m oder = 0,1581 m, wobei vorausgesetzt ist, daß die Zahl nach beiden Seiten von A bis zur selben Grenze verfolgt und für beide Seiten zusammengezählt wird. Für jede andere Abweichungsgrenze als Q : e = 0,25 gibt dieselbe Tabelle eine andere relative Abweichungszahl; aber erläutern wir zunächst die vorige Bestimmung an einem konkreten Beispiel.

    Nehmen wir an, wir hätten 10000 Rekruten, hätten deren A und e bestimmt, ersteres = 71,7 Zoll, letzteres = 2,0 Zoll gefunden (wie es nahehin für die Leipziger Studentenrekrutenmaße gilt), so würden unter Voraussetzung, daß das G. G. dafür gelte, 1581 Rekruten zwischen A + 0,25 e einerseits und A - 0,25 e andererseits, d. i. zwischen 71,2 und 72,2 Zoll fallen. Sei in demselben Sinne die Grenzabweichung Q , bis zu der man von Q = 0 an zählt, gleich 0,5 e genommen, mithin Q : e = 0,5, so wird nach der Tabelle des Gesetzes die Zahl der von Q = 0 bis dahin nach beiden Seiten zugleich reichenden Abweichungen und mithin abweichenden Werte a, d. i. die Zahl zwischen 70,7 und 72,7 Zoll, 31,01 p. C. der Gesamtzahl oder 0,3101 m betragen. Und so wird es nach dem Gesetze eine entsprechende Bestimmung für jeden beliebigen Wert Q : e als Grenzwert, bis zu dem man von Q : e = 0 an zählt, geben. Insofern sich aber doch nicht alle möglichen Werte Q : e mit den zugehörigen Prozent- oder Verhältniszahlen in die Tabelle des Gesetzes eintragen lassen, findet man in einer hinreichend ausgeführten Tabelle jene äquidistant und einander so nahe genommen, daß sich dazwischen interpolieren läßt. Die folgende Tabelle nun gibt sie freilich nicht in einer zur genauen Interpolation hinreichenden Nähe, wozu man sich an eine vollständigere Tabelle halten muß, aber doch für das Verständnis und die hier anzuknüpfenden Erörterungen genügend. Dabei bemerke ich, daß ich die Zahlen wie 0,1581 und 0,3101 kurz Verhältniszahlen nennen und mit F bezeichnen werde, und zwar mit F [Q : e ], wenn sie, wie in folgender Tabelle, als Funktionen von Q : e ausgedrückt sind. Durch Multiplikation der Verhältniszahl F mit der Totalzahl m, kurz durch mF , erhält man die absolute Zahl von Q : e = 0 bis zu gegebener Grenze Q : e. Umgekehrt erhält man, wenn die absolute Zahl zwischen diesen Grenzen bekannt ist, die Verhältniszahl F durch Division der absoluten mit m.
 
 

§27. F [Q : e ]-Tabelle oder kurz e -Tabelle des GAUSS'schen Gesetzes.


Q : e F [Q : e ] Q : e F [Q : e ]
0,00 0,0000 2,75 0,9718
0,25 1581 3,00 9833
0,50 3101 3,25 9905
0,75 4504 3,50 9948
1,00 5751 3,75 9972
1,25 6814 4,00 9986
1,50 7686 4,25 9993
1,75 8374 4,50 9997
2,00 8895 4,75 9998
2,25 9274 5,00 9999
2,50 9539 5,25 1,0000

 
 
    In dieser Tabelle sind angegebenermaßen die Verhältniszahlen F stets für den Ausgang von Q : e = 0 bis zu einem gegebenen Grenzwerte Q : e bestimmt. Um aber Verhältniszahlen für Intervalle zwischen zwei verschiedenen Q : e im Laufe der Abweichungen von A zu erhalten, sagen wir zwischen Q : e = a und Q : e = b , braucht man bloß die Differenz der dazugehörigen F -Werte, also F [b ] - F [a ] zu nehmen, welche allgemein j heißen möge, wonach z. B. laut voriger Tabelle zum Intervall zwischen Q : e = 0,25 und Q : e = 1,00 die mit j[1,00 - 0,25] zu bezeichnende Verhältniszahl 0,5751 - 0,1581 = 0,4170 gehört. Folgende Tabelle enthält die j-Werte für gleich große, sich unmittelbar aneinander anschließende Intervalle zwischen den aufeinanderfolgenden Q : e der vorigen e-Tabelle vom Anfange herein.


j -Tabelle des GAUSS’schen Gesetzes


Successive gleiche Intervalle zwischen 

Q : e

j Successive gleiche
Intervalle zwischen

Q : e

j
0,00 - 0,25 0,1581 2,75 - 3,00 0,0115
0,25 - 0,50 1520 3,00 - 3,25 0072
0,50 - 0,75 1403 3,25 - 3,50 0043
0,75 - 1,00 1247 3,50 - 3,75 0024
1,00 - 1,25 1063 3,75 - 4,00 0014
1,25 - 1,50 0872 4,00 - 4,25 0007
1,50 - 1,75 0688 4,25 - 4,50 0004
1,75 - 2,00 0521 4,50 - 4,75 0001
2,00 - 2,25 0379 4,75 - 5,00 0001
2,25 - 2,50 0265 5,00 - 5,25 0001
2,50 - 2,75 0179

 

    Auch diese Zahlen j sind mit der Gesamtzahl m zu multiplizieren, um die absoluten Zahlen für die betreffenden Intervalle zu erhalten.

    Bezeichnet man die Q : e der F -Tabelle, welche immer von Q : e = 0 als erster Grenze ausgehen, kurz als lim., so sieht man, daß innerhalb kleiner Werte von lim. die verhältnismäßigen Zahlen F den lim. fast proportional gehen; ja geht man nach einer vollständigeren F -Tabelle, als hier mitgeteilt ist, mit den lim. bis unter 0,25 herab, so findet eine noch größere Annäherung an die Proportionalität statt, die innerhalb unendlich kleiner Werte von lim. als genau angesehen werden kann; wogegen bei Aufsteigen zu großen Werten lim. die betreffende Proportionalität gänzlich fehl schlägt; und eine Folge davon ist, daß in der j-Tabelle die Verhältniszahlen j, welche den ersten der aufeinander folgenden gleichen Intervalle zwischen den lim. zugehören, fast gleich sind; hiergegen in um so stärkerem Verhältnisse, kurz um so rascher abnehmen, je weiter man vorgeht; wie denn für die gleich großen Intervalle der Q : e von 0 bis 0,25; 0,75 bis 1,0; 3,0 bis 3,25 u. s. w. die Werte (j resp. 0,1581; 0,1247; 0,0072 u. s. w. betragen.

    § 28. Zur Beurteilung der Gültigkeit und Anwendbarkeit des G. G. auf die Empirie ist darauf zurück zu kommen, daß demselben die Voraussetzung einer symmetrischen W. der beiderseitigen Abweichungen Q bez. A zu Grunde liegt, der Art, daß unter Voraussetzung eines großen, streng genommen unendlichen m für jedes Q auf positiver Seite ein gleich großes Q auf negativer Seite zu erwarten ist; und die Verhältniszahlen F und j sind als Ausdruck für die W. des Vorkommens der Exemplare bis zu gegebenen Grenzen ihrer Abweichung von A oder in gegebenen Intervallen dieser Abweichung anzusehen.

    Dies schließt nun schon bemerktermaßen nicht aus, daß trotz der prinzipiellen Gültigkeit des Gesetzes unter den von ihm vorausgesetzten Bedingungen mehr oder weniger große empirische Abweichungen von seinen Forderungen vorkommen, weil die Bedingung eines unendlichen m empirisch nicht zu erfüllen ist; und es können also Abweichungen von seinen Forderungen nur insofern gegen dasselbe geltend gemacht werden, als die Vergrößerung des m nichts hilft, diese Abweichungen dem Verschwinden näher zu bringen, kurz nur insofern, als sie nicht auf unausgeglichene Zufälligkeiten wegen Endlichkeit des m geschoben werden können, worüber es nicht an Anhaltspunkten fehlt, die an ihrem Orte zu besprechen sind. Aber gehen wir zunächst den Folgerungen des Gesetzes unter Voraussetzung seiner prinzipiellen Gültigkeit nach.

    Im Vorigen ist angegeben, wie die Verhältniszahl F und absolute Zahl m F für beide Seiten zusammen von dem Werte ± Q : e abhängt, bis zu dem man sie nach beiden Seiten verfolgt. Geschieht dies bloß nach einer Seite, so wird nach der vorausgesetzten symmetrischen W. die absolute Zahl bis zu gegebenen Grenzen jederseits halb so groß anzunehmen sein, als wenn sie für beide Seiten bis zu derselben Abweichungsgrenze verfolgt wäre. Indem aber auch die Totalzahl beider Seiten zusammen bei großem, streng genommen unendlichem m sich nach derselben symmetrischen W. auf ½ m reduziert, bleiben die, nach dem G. G. zu berechnenden, Verhältniszahlen jeder Seite, resp.und F,, gleich mit der totalen Verhältniszahl F, wogegen die einseitigen absoluten Zahlen ½ mund ½ mF,nach dem G. G. für halb so groß anzunehmen sind als die beiderseitige Zahl mF bis zur selben Grenze ± Q .

    Empirisch freilich trifft die Gleichheit der beiderseitigen absoluten Zahlen bis zur selben Grenze wegen unausgeglichener Zufälligkeiten nicht zu; aber das G. G. abstrahiert eben von diesen Zufälligkeiten und setzt den Fall voraus, daß der Unterschied m' - m,= u gegen m verschwindet. Es würde also auch unrecht sein, wenn man efür die Berechnung von F' gleich åQ ' : m' und für die von F,gleich åQ,: m, nähme, sondern für F ' und F,muß ebenso als für F der aus der Totalität zu berechnende Wert e = åQ :m dienen, da man sonst der Voraussetzung symmetrischer W., welche dem G. G. zu Grunde liegt, widersprechend auf beiden Seiten bis zu denselben Abweichungsgrenzen verschiedene Abweichungszahlen erhalten würde. Auch hat Quetelet bei seinen Vergleichstabellen zwischen Rechnung nach dem G. G. und Beobachtung dies nicht anders gefaßt. Anders freilich, wo eine asymmetrische W. der Abweichungen bez. A besteht, wie es tatsächlich bei Kollektivabweichungen der Fall ist, wo das G. G. überhaupt nur mit einer weiterhin zu besprechenden Modifikation anwendbar ist; aber vor allem gilt es doch, vom rein gefaßten G. G. selbst auszugehen, und so verfolgen wir dessen Konsequenzen noch weiter.

    Aus der voraussetzlichen symmetrischen W. der Q bez. A folgt nun weiter unmittelbar, daß der Zentralwert C, bez. dessen die Zahl der beiderseitigen Abweichungen gleich ist, wesentlich mit dem arithmetischen Mittel A, bez. dessen die Summe der beiderseitigen Abweichungen gleich ist, zusammenfällt, d. h. daß beide nur durch unausgeglichene Zufälligkeiten von einander abweichen können. Denn wenn nach symmetrischer W. für jedes positive Q einerseits ein gleich großes Q andererseits zu erwarten ist, so muß mit gleicher Summe auch gleiche Zahl der Abweichungen nach beiden Seiten zu erwarten sein. Es ist aber die Forderung, daß vermöge symmetrischer W. der Unterschied u = ± (m¢ - m,) zwischen der Zahl der positiven und negativen Abweichungen mit wachsendem m mehr und mehr verschwinde, nicht auf die absolute Größe von u, sondern sein Verhältnis zur Totalzahl m, d. i. u : m zu beziehen, weil u selbst nach bekannten Gesetzen des Zufalles bei vergrößertem m im Verhältnisse von  wächst, dieser Wert aber gegen m um so mehr verschwindet, je größer m ist, und bei unendlichem m ganz verschwindet. Auch bleibt bei dem absoluten Wachstume von u im Verhältnisse von die Richtung des Unterschiedes an sich unbestimmt.

    Daß unter Voraussetzung der Gültigkeit des G. G. auch der dichteste Wert D wesentlich mit A zusammenfällt, folgt nach dem Anblicke der j - Tabelle daraus, daß die Zahl der Abweichungen und mithin abweichenden Werte a nach beiden Seiten für gleiche Intervalle um so größer ist, je näher die Intervalle dem A kommen, am größten also in den an A selbst grenzenden und dasselbe zwischen sich fassenden Intervallen, wie klein man diese auch nehme.

    § 29. Hiernach noch die Bemerkung, daß die Tabelle des G. G. nicht daran gebunden ist, die Grenzen, zwischen denen F zu bestimmen, als Funktionen des einfachen Mittelfehlers auszudrücken. In den gebräuchlichen Tabellen ist aus formellen Gründen statt Q : e vielmehr Q : eoder Q : w 4) gewählt, was andere Tabellen gibt als die obige, von mir kurz als e -Tabelle bezeichnete, und auch wir werden uns aus gleich anzugebenden Gründen in den künftig zu machenden Anwendungen vielmehr an eine Tabelle mit Bezug auf Q : eals die obige bez. Q : e halten; und da man Q : egewöhnlich mit t bezeichnet, so werde ich eine solche, auf t bezogene Tabelle kurz die t-Tabelle nennen und eine ausgeführte t-Tabelle im Anhang § 183 mitteilen. Vom Anfange herein gestaltet sie sich für einen Auszug daraus so:
 
 
 

t F[t]
0,00 0,0000
0,25 0,2763
0,50 0,5205
0,75 0,7112

u.s.w.


    4) [Eine solche, auf den wahrscheinlichen Fehler w bezogene Tabelle findet sich am Schlusse des Berliner Astronom. Jahrbuches für 1834 (herausgeg. von Encke) als Tafel II; auszugsweise wird sie in § 108 mitgeteilt.]
 
 

    Übrigens ist eine solche Tabelle ganz entsprechend als die e-Tabelle zu benutzen, wie am obigen Beispiel zu erläutern, wo A = 71,7, e = 2,0 Zoll angenommen ist. Vor allem hat man e mit, d. i. 1,77245 zu multiplizieren, gibt 3,5449 und wird nun nach der t -Tabelle z. B. die Zahl der Q und mithin a, die zwischen A + 0,25 • 3,5449 und A - 0,25 • 3,5449, d. i. zwischen 71,7 + 0,25 • 3,5449 und 71,7 - 0,25 • 3,5449, kurz zwischen 72,5862 und 70,8138 enthalten ist, = 0,2763 m finden.

    Der Grund, uns künftig nicht an die e-Tabelle zu halten, was doch am einfachsten schiene, ist der, daß eine e-Tabelle in entsprechender Ausführung als die t -Tabelle bisher noch gar nicht, vorliegt, und daher nur einfachster Erläuterung halber von der e-Tabelle der Ausgang genommen wurde, welche übrigens, wenn sie ausgeführt vorläge, nur den Vorteil böte, die Multiplikation von e mit überall zu ersparen.

    Eine ausgeführte t -Tabelle aber findet sich an verschiedenen Orten, z. B. am Schlusse des Berliner Astronom. Jahrbuches für 1834 und in quetelet's Lettres sur la théorie des probab. p. 389 flg., beidesfalls bloß bis t = 2,00 ausgeführt. Eine, mir zu Gebote stehende, lithographierte Tabelle, die aber nicht mehr im Buchhandel ist, gibt die Ausführung bis t = 3,00 mit 7 Dezimalen für F5). Die obige e-Tabelle aber ist von mir durch Interpolation mit zweiten Differenzen aus der t -Tabelle, so weit diese reicht, erhalten und für noch höhere Werte direkt berechnet worden.
 
 

    5) [Eine entsprechende Tabelle von gleicher Ausdehnung findet sich bei A. MEYER, Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung (deutsch bearbeitet von CZUBER), Leipzig 1879, S. 545—549, wo t durch g ersetzt ist. Auf Grund derselben hat KÄMPFE die im Anhang § 183 mitgeteilte, in den Philosophischen Studien (herausgeg. von WUNDT), Band IX, S. 147—150, zuerst publizierte Tabelle berechnet, in welcher die Funktionswerte F auf 4 Dezimalen abgekürzt, die Argumente t resp. g jedoch zwischen den Grenzen 0 und 1,51 auf 3 Dezimalstellen erweitert sind. Eine Tabelle von entsprechender Ausdehnung mit fünfstelligen Funktionswerten findet man gleichfalls im Anhang. — Die erste Tabelle dieser Art, auf welche wohl die genannten Tabellen als Quelle zurückzuführen sind, hat KRAMP berechnet, der die Integrale über exp[ - t² dt von endlichen Werten t bis t = ¥ und die Logarithmen dieser Integrale gibt. Siehe: "Analyse des réfractions astronomiques et terrestres"; par le citoyen KRAMP, Strasbourg, l'an VII, p. 195—206.]
 
 

    § 30. Hiernach komme ich zu den Gründen, welche Anlaß sind, bei Kollektivabweichungen über das einfache G. G., wie es bisher erläutert worden ist, hinauszugehen.

    Von Gauss selbst ist das Gesetz nicht für Kollektivabweichungen, als Abweichungen der einzelnen Exemplargrößen a von ihrem arithmetischen Mittel, sondern bemerkter- und bekanntermaßen für Beobachtungsfehler, als Abweichungen der einzelnen Beobachtungswerte eines Gegenstandes von ihrem arithmetischen Mittel aufgestellt; und an sich ist nichts weniger als selbstverständlich, daß eine Übertragbarkeit des Gesetzes von letzteren auf erstere stattfinde. In der Tat ist es doch von vornherein etwas sehr Anderes, Abweichungen vor sich zu haben, die wegen mangelnder Schärfe der Meßinstrumente oder Sinne und zufälliger äußeren Störungen bei wiederholter Messung eines einzelnen Gegenstandes vom arithmetischen Mittel der Maße erhalten werden, und Abweichungen, welche die vielen Exemplare eines K.-G. von ihrem arithmetischen Mittel aus Gründen darbieten, welche in der Natur der Gegenstände selbst und der sie beeinflussenden äußeren Umstände gelegen sind. Es ließ sich also auch durchaus nicht a priori voraussagen, daß die Natur in diesen Abweichungen vom Mittel das Gesetz der Beobachtungsfehler befolgt, sondern galt erst, eine direkte Prüfung desselben an K.-G. selbst vorzunehmen.

    Inzwischen, da man von vornherein leicht wahrnahm, daß bei großem m ebenso bei Kollektivabweichungen bez. A als Beobachtungsfehlern die Zahl der Abweichungen z für einen Wert in einem mittleren Teile der Verteilungstafel ein Maximum ist, von da an aber nach den Extremen zu um so regelmäßiger abnimmt, je größer m ist, außerdem kein anderes Gesetz als das GAUSS'sche vorlag, an das man bei Aufsuchung eines Verteilungsgesetzes für K.-G. denken konnte, war es natürlich, daß man vor allem dieses der Prüfung unterzog. Und zwar sind Rekrutenmaße der erste Gegenstand gewesen und (mit Einschluß von Brustumfang und Lungenkapazität der Rekruten) bisher seitens anderer der einzige geblieben, an denen das Gesetz versucht worden ist.

    Diese mehrseitig (von QUETELET, BODIO, GOULD, ELLIOTT und vielleicht noch anderen) 6) vorgenommene Prüfung an Rekrutenmaßen verschiedener Länder schien nun zunächst überall eine Bestätigung des Gesetzes zu ergeben, indem die Abweichungen von den Forderungen des Gesetzes klein genug erschienen, um nur als unwesentlich im angegebenen Sinne zu gelten; und eine angenäherte Gültigkeit besitzt das G. G. jedenfalls für Rekrutenmaße, nur keine so weitgehende, als man bisher geglaubt hat, annehmen zu können, wie ich mich teils durch kritische Revison der bisher darüber geführten Untersuchungen, teils durch eigene Untersuchung selbstbeschaffter vielzahliger Rekrutenmaßtafeln überzeugt habe, wogegen es andere K.- G. gibt, bei denen das einfache G. G. gänzlich fehlschlägt, indes sie doch einer Verallgemeinerung dieses Gesetzes genügen.
 

    6) [BODIO, La taille des recrues en Italie; Ann. de démographie intern. Paris 1878. GOULD, Investigations on the military and anthropological statistics of American soldiers; United States Sanitory Comission memoirs. New-York 1869. ELLIOTT, On the military statistics of the United States of America. Berlin 1863.]
 

    In der Tat aber lassen sich nach meinen erweiterten Erfahrungen folgende zwei Gesichtspunkte angeben, welche es überhaupt von vornherein unmöglich erscheinen lassen, dem einfachen G. G. eine allgemeine Gültigkeit für K.-G. zuzugestehen. Der erste ist dieser7):
 

    7) [Den zweiten s. § 34 und 35.]
 

    § 31. Sollte das G. G. auf Kollektivabweichungen allgemein anwendbar sein, so müßten sich die Folgerungen, die aus der bei demselben vorausgesetzten symmetrischen W. der Abweichungen bez. A hervorgehen, allgemein bestätigen, was nicht der Fall ist, und wenn bei Rekrutenmaßen und nicht wenigen anderen Gegenständen man bei oberflächlicher Untersuchung unsicher bleiben könnte, ob nicht unausgeglichene Zufälligkeiten oder mangelnde Erfüllung der Requisiten Schuld daran sei, entziehen sich doch andere Gegenstände dieser Vermutung zu entschieden, als daß man wesentliche Symmetrie der Abweichungen bezüglich A als allgemeinen Charakter der K.-G. ansehen könnte. In der Tat hat schon QUETELET in seinen "Lettres sur la théorie des probabilités" p. 166 bemerkt, daß bei manchen K.-G. der Unterschied der extremen Abweichungen U', U,beider Seiten bez. A konstanter und gesetzlicher positiv, bei anderen negativ ist, als mit symmetrischer Wahrscheinlichkeit verträglich ist; und ich selbst habe noch vor Kenntnis seiner Untersuchungen hierüber in betreff einer anderen Forderung der symmetrischen W. konstatiert, daß bei manchen K.-G. die Abweichungszahlen bez. A d. i. m’ und m,, nicht nur konstanter und gesetzlicher, sondern auch weiter, als durch unausgeglichene Zufälligkeiten erklärlich ist, von einander abweichen. Dabei hat sich sowohl nach QUETELET'S als meiner Erfahrung gezeigt, daß je nach Art der K.-G. die Abweichung zwischen U' und U,oder die Abweichung zwischen m' und m,diese oder jene Richtung einhält; also während sie der Größe nach den Wert übersteigt, der wegen unausgeglichener Zufälligkeiten erwartet werden könnte, zugleich der Richtung nach charakteristisch für die eine oder andere Art von K.-G. ist.

    Nun bezeichne ich es als Asymmetrie überhaupt, wenn eine Abweichung zwischen U' und U,oder m¢ und m,besteht; aber da eine solche wegen unausgeglichener Zufälligkeiten nicht leicht fehlen wird, so ist wesentliche Asymmetrie als solche, welche nicht von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängig gemacht werden kann, von unwesentlicher oder zufälliger Asymmetrie als solcher, welche davon abhängig gemacht werden kann, zu unterscheiden.

    Empirisch mischt sich die wesentliche Asymmetrie, auch wo solche besteht, immer mit zufälliger, weil man doch immer mit endlichem m, wovon solche abhängt, zu tun hat, aber da der von wesentlicher Asymmetrie abhängige Unterschied im Verhältnisse von m, der von zufälliger abhängige bloß im Verhältnisse von wächst, so verschwindet letzterer Wert gegen ersteren um so mehr, je mehr m wächst, und treten die von wesentlicher Asymmetrie abhängigen Bestimmungen um so reiner hervor, je größer m ist, und kann es selbst als Merkmal wesentlicher Asymmetrie angesehen werden, wenn der bei großem m gefundene Unterschied zwischen U ¢ und U,oder m¢ und m,bei weiterer Vergrößerung dieselbe Richtung behält. Auf andere Merkmale aber werden wir später8) kommen, welche es unzweifelhaft erscheinen lassen, daß man im Gebiete der K.-G. nicht überall mit der Annahme bloß zufälliger Asymmetrie auskommt.
 

    8 ) [Vergl. insbesondere Kap. XII "Gründe für wesentliche Asymmetrie".]
 
 

    § 32. Nun tritt zunächst folgende Alternative auf.

    1) Es ließe sich denken, daß in der Asymmetrie, auch wo sie als wesentlich anzuerkennen, nur eine Störung des G. G. je nach der Art der K.-G. im einen oder anderen Sinne zu sehen sei, die sich selbst keinem bestimmten, mathematisch formulierbaren Gesetze füge.

    2) Es ließe sich denken, daß die wesentliche Gültigkeit des G. G. für Kollektivabweichungen vom arithmetischen Mittel doch die Regel bleibe, die Fälle aber, wo es nicht anwendbar sei, als Ausnahmen anzusehen, welche entweder unter den Fall 1) treten oder einem zwar angebbaren, aber nur ausnahmsweise gültigen, anderen Gesetze als dem GAUSS'schen unterliegen.

    3) Da die Abweichung zwischen U' und U,, sowie zwischen m¢ und m,bei gegebenem m, insoweit sie von wesentlicher Asymmetrie abhängt, je nach Art der K.-G. verschiedene Größe und hiermit die wesentliche Asymmetrie verschiedene Grade annehmen kann, so läßt sich die wesentliche Symmetrie, wo eine solche vorkommt, als der besondere Fall des alle möglichen Grade umfassenden allgemeinen Falles der Asymmetrie ansehen, wo der Grad derselben auf Null herabkommt, und ließe sich denken, daß im Gebiete der K.-G. die wesentliche Asymmetrie den allgemeinen Fall in seinen verschiedenen Graden vorstelle, die wesentliche Symmetrie aber eben nur einen besonderen Fall, der, wenn er überhaupt in aller Strenge vorkommt, nur als Ausnahmefall zu betrachten ist, sofern unter den unendlich verschiedenen möglichen Graden der Asymmetrie das völlige Verschwinden eine unendlich geringe W. hat, was nicht ausschließt, daß die schwächeren Grade der Asymmetrie, welche empirisch leicht mit einer nur durch unausgeglichene Zufälligkeiten gestörten, wesentlichen Symmetrie verwechselt werden können, häufiger sind als die stärkeren, welche sich der Möglichkeit einer solchen Verwechslung entziehen. In Beziehung zu dieser Auffassung aber ließe sich denken, daß es auch ein für den allgemeinen Fall gültiges allgemeines Gesetz gebe, welches das G. G. nur als den besonderen Fall unter sich faßt, daß die asymmetrische W. in symmetrische übergeht.

    Welche von diesen drei Möglichkeiten, und namentlich ob eine von den beiden ersten, die nur Modifikationen von einander sind, oder die dritte die richtigere sei, ließ sich nun nicht ohne weiteres entscheiden, sondern es gehörte dazu einmal die Entscheidung der Frage, ob eine Verallgemeinerung des G. G. für den Fall wesentlicher Asymmetrie nach denselben Prinzipien, nach denen es für den besonderen Fall der wesentlichen Symmetrie abgeleitet ist, wirklich möglich sei, zweitens ob die zur empirischen Prüfung geeigneten K.-G., wofür die Requisiten im vorhergehenden Kapitel besonders angegeben sind, sich dem so ableitbaren Gesetze wirklich fügen. Ich habe die Untersuchung nach beiden Seiten angestellt, und beide Fragen haben sich in guter Zusammenstimmung zu Gunsten des dritten Falles der Alternative bejahen lassen. Aber dazu gehört freilich eine Ausführung theoretischer und empirischer Untersuchungen, die sich nicht auf einmal und in kurzem geben läßt, sondern folgenden Kapiteln vorbehalten bleibt, und nur vorgreiflich bemerke ich, daß das Fundamentalste der theoretischen Untersuchungen im XIX. Kapitel, die durch die Empirie gebotenen Gründe, daß das Vorhandensein wesentlicher Asymmetrie wirklich als der allgemeine Fall im Gebiete der K.-G. anzusehen sei, im XII. Kapitel enthalten sind. Zunächst aber dürfte es ein Interesse haben, wenn ich die wesentlichsten Bestimmungen der Verallgemeinerung des G. G. von symmetrischer auf asymmetrische W., hiermit von symmetrischer auf asymmetrische Verteilung bei großem m, zu welchen mich die Verbindung von Theorie und Empirie geführt hat, hier vorläufig beweislos zusammenstelle, und zwar führe ich diese Bestimmungen wegen mehrfach darauf zu nehmenden Rückbezuges als Spezialgesetze der asymmetrischen W. oder Verteilung unter besonderen Bezeichnungen, wie folgt, auf, Gesetze, bei denen man sich begnügen kann, solange nicht eine beträchtliche verhältnismäßige Schwankung der K.-G. in dem (§ 9) besprochenen Sinne Anlaß gibt, eine weitere Verallgemeinerung in Rücksicht zu ziehen, von welcher nachher die Rede sein wird, die aber nicht zu einer Verwerfung, sondern nur Verschärfung der folgenden Gesetze führt.

    § 33. Von diesen Spezialgesetzen sind die wichtigsten die ersten drei, welche zwar hier besonders aufgestellt werden, aber aus den mathematischen Grundvoraussetzungen der kollektiven Asymmetrie in solidarischem Zusammenhange folgen, wie im XIX. Kapitel zu zeigen. Die übrigen sind teils unmittelbar einleuchtende Korollare derselben, teils mathematisch aus denselben zu folgern, wie ebenfalls später darzutun.

Spezialgesetze wesentlich asymmetrischer Verteilung für K.-G. bei nicht zu starker verhältnismäßiger Schwankung derselben.

    1) Ausgangsgesetz. Die Abweichungen sind statt vom arithmetischen Mittel A von dem im Falle wesentlicher Asymmetrie auch wesentlich von A abweichenden dichtesten Werte D zu rechnen, um überhaupt zu einer unter eine einfache Regel faßbaren und der Erfahrung entsprechenden Verteilung zu gelangen, eine Regel, die für den Fall, daß die wesentliche Asymmetrie verschwindet, wo D wesentlich mit A zusammenfällt, auf die Regel des G. G. zurückführt.

    2) Zweispaltiges GAUSS'sches Gesetz. Die Verteilung der Abweichungen bez. D befolgt, kurz gesagt, nach jeder beider Seiten insbesondere dieselbe Regel, als bei symmetrischer W. bez. A für beide Seiten gemeinschaftlich befolgt wird. Es tritt nur dabei an die Stelle von m, Q , e = åQ : m bez. A positiverseits m', Q ', e ' = åQ ' : m¢ , negativerseits m,,Q,,e,= åQ,: m, bez. D; mit dieser Rücksicht sind noch dieselben Tabellen, die e-Tabelle und t -Tabelle, für die Verteilungsrechnung nach jeder Seite insbesondere brauchbar, als für Berechnung nach dem G. G. bei symmetrischer W. bez. A gemeinsam für beide Seiten anzuwenden wären. Ersetzen wir nun im Sinne der § 10 getroffenen Konvention die allgemeinen Bezeichnungen m', m,, åQ ', åQ,,,e,, die bez. beliebiger Hauptwerte gelten, durch m', m,, å¶ ', å¶,, e', e,, sofern es sich um Beziehung zu D handelt, so gehen damit auch die positiven und negativen verhältnismäßigen Abweichungszahlen F ' und F,, sowie absoluten Zahlen m¢ und F,m,, desgleichen j' und j,,j 'm' und j,m, jederseits in Funktionen dieser Bezeichnungen über.

    3) Proportionsgesetz. Die beiderseitigen Abweichungszahlen m', m,bez. des dichtesten Wertes verhalten sich wie die einfachen mittleren Abweichungen e', e,, d.i. wie 嶢 : m¢ und å¶,: m,bez. D, mithin

,

wovon folgendes Korollare sind.

    a) Die Quadrate der beiderseitigen Abweichungszahlen, d. i. m' 2, m,2 verhalten sich wie die beiderseitigen Abweichungssummen å¶', å¶,, also:

m' 2: m,2 = å¶' :å¶,.     b) Der dichteste Wert D kann selbst als der Wert bestimmt werden, dessen beiderseitigen Abweichungszahlen und mittleren Abweichungen dem Proportionsgesetze genügen. Ja ich halte dies, allgemein gesprochen, für seine zwar nicht bequemste, aber genaueste Bestimmungsweise und gebe später (Kapitel XI) an, wie sie auszuführen ist. Kürze halber mag sie die proportionale heißen und das so bestimmte D, wenn es gilt, auf diese Bestimmungsweise ausdrücklich hinzuweisen, mit Dp bezeichnet werden. Dies Dp kann man dann mit dem empirisch direkt bestimmten D, d. i. dem Werte, auf den das Maximum der Zahl z in einer Verteilungstafel fällt, vergleichen, und daraus, daß es doch nur in den Grenzen der zuzugestehenden Unsicherheit davon abweicht, einen der Beweise für die Triftigkeit unserer asymmetrischen Gesetzlichkeit finden.

    4) Die Abstandsgesetze. Die Abstände zwischen den drei Hauptwerten bestimmen sich so. Sei m" die Gesamtzahl, å¶" die Gesamtsumme, e" = å¶ " : m" das Mittel der mit C oder A (je nachdem man den Abstand des C oder A von D sucht) gleichseitigen Abweichungen bez. D, d. h. welche nach derselben Seite von D abgehen, nach welcher C oder A davon abliegt, mag dies die positive oder negative Seite sein, indes der Index von zwei Strichelchen unten die entsprechende Bedeutung für die ungleichseitigen Werte haben mag, so findet sich nach § 131:

C - D = t"e",
worin t" den Wert von t bedeutet, der in der Tabelle der t zu

,

kurz zu F " gehört. Ferner:

ein Wert, der nach dem Proportionalgesetze mit 2 F"e" übereinkommt, wie in § 131 zu zeigen, wonach man auch setzen kann:

.

Hiernach ist A - C als Differenz der beiden vorigen Abstände:

AC = (AD) – (CD) = ( 2 - t²)e²,

worin F " und t" in angegebener Weise bestimmt sind.

    5) Die p -Gesetze. Für den in der Regel stattfindenden Fall, daß der Abstand des C von D ein kleines (streng genommen unendlich kleines) Verhältnis zur mittleren Abweichung e' oder e,der Seite, nach welcher C von D abliegt, kurz zu e" hat, hat man merklich:

Abgesehen von unausgeglichenen Zufälligkeiten und Abnormitäten, deren in Kap. IV gedacht ist, wodurch diese Verhältnisse, wie alle hier aufgestellten Gesetze alteriert werden können, würden diese Verhältnisse streng gelten, wenn (C - D)2 : 3pe² 2 gegen 1 völlig vernachlässigt werden könnte, überhaupt also C - D klein gegen e" ist. Insofern aber dies Verschwinden doch nie vollständig stattfindet, sind den obigen p -Funktionen von D, C, A resp. eigentlich zu substituieren :

,

worin x ein positiver Wert ist, welcher 1 in kleinem Verhältnisse übersteigt.

    Die theoretisch ableitbare Bedingung, daß unter Voraussetzung verhältnismäßiger Kleinheit von C - D gegen e" der Wert

approximativ = ¼p = 0,78540 sein muß, gehört bei der Allgemeinheit, in der er sich empirisch wiederfindet, zu den schlagendsten Bewährungen unserer asymmetrischen Verteilungsgesetze, und der Wert p wird daher künftig in den Tafeln der Elemente der von mir behandelten Gegenstände besonders angegeben werden, um sich von der Approximation desselben an ¼p zu überzeugen. Eine genaue Übereinstimmung damit ist prinzipiell nicht zu fordern, der Theorie nach sollte er, wie oben bemerkt, um eine Kleinigkeit größer als ¼p aus den Versuchen hervorgehen, aber dies kleine theoretische Übergewicht kann leicht durch unausgeglichene Zufälligkeiten überboten werden, und so hat er sich (nach möglichst genauer proportionaler Bestimmung von D als Dp ) in den aus den verschiedensten Gebieten entnommenen K.-G., die sich in Bezug auf die Gültigkeit vorstehender Gesetze untersuchen ließen (Schädelmaßen, Rekrutenmaßen, botanischen, meteorologischen Maßen), bei den verschiedensten Reduktionsstufen und Reduktionslagen der Verteilungstafeln zwischen 0,6 und 0,9 gefunden.

    Statt sich an p zu halten, könnte man sich auch an die beiden anderen p - Funktionen halten, nur daß wegen des kleineren Verhältnisses, was A - C gegen C - D und vollends gegen A - D hat, diese anderen Funktionen in stärkerem Verhältnisse von unausgeglichenen Zufälligkeiten affiziert werden können.

    Aus der dritten p-Gleichung, wonach

,

läßt sich ein sehr einfacher Weg ableiten, D approximativ noch auf einem anderen Wege als direkt empirisch oder proportional zu bestimmen, welcher darin besteht, daß, nachdem man A und C bestimmt hat, man den Abstand des gesuchten D von C 3,66 mal so groß nimmt, als der Abstand des A von C gefunden ist. In Kürze mögen wir den so bestimmten D-Wert als Dp bezeichnen. – Inzwischen ist diese Bestimmung zu unsicher, um ihr überhaupt Wert beizulegen; zumal außer der mühsamen Bestimmung des D als DP , noch ein anderer verhältnismäßig einfacher Weg sehr approximativer Bestimmung als sog. Di , zu Gebote steht, wovon in Kap.XI. die Rede sein wird.

    Um statt bloß approximativer, genaue Bestimmungen der drei Abstandsverhältnisse zu erhalten, hat man auf die genauen Werte der drei Abstände selbst zurückzugehen, welche unter den Abstandsgesetzen angeführt sind, wonach:

,

,

Diese Verhältnisse haben zwei Grenzwerte, zwischen welchen sie sich halten, wovon der erste dem Falle m" = m", d. i. dem Falle verschwindender Asymmetrie, wo x = 1, entspricht; der zweite dem Falle, wo m", gegen m" verschwindend klein, mithin = 0 gesetzt werden kann. Dies gibt für

                                                                                        1.Grenze: 2.Grenze:
 

= p 0,78540 0,84535
        0,21460 0,15465

        3,65979 5,46609.

Der Wert p kann also normaler Weise überhaupt nicht unter 0,78540 fallen und nicht über 0,84535 steigen.

    6) Lagengesetz. Der Zentralwert C und das arithmetische Mittel A liegen nach derselben Seite vom dichtesten Werte D ab, und zwar so, daß C zwischen A und D fällt (s. § 134).

    7) Umkehrgesetz. Die Asymmetrie der Abweichungen bez. D hat das entgegengesetzte Vorzeichen als die der Abweichungen bez. A, d. i., wenn m' - m,bez. A (d. i. µ' - µ,) positiv ist; so ist m' - m,bez. D (d.i. m' - m,) negativ, und umgekehrt (s. § 134). Ferner hat der Unterschied zwischen den extremen Abweichungen bez. A, d. i. U' - U,, das entgegengesetzte Vorzeichen als der Unterschied zwischen den Abweichungszahlen, d. i. u = µ' - µ,(s. § 142).

    8) Die Extremgesetze. [Ist die Anzahl der oberhalb resp. unterhalb D liegenden Abweichungen gleich m' resp. m,,so besteht die Wahrscheinlichkeit:

dafür, daß:

U' = t'e'  den extremen Wert der oberen Abweichungen darstelle. Entsprechend ist die W. dafür, daß:
U,= t,e,
das Extrem der unteren Abweichungen sei, gleich:

.

Hiernach ist der wahrscheinliche Wert der oberen resp. unteren extremen Abweichung gleich:

resp. ,
Wenn t' und t, mittelst der t-Tabelle aus:

resp. 

bestimmt werden. (Vergl. Kap. XX )]9)
 

    9) [Durch die eckigen Klammern werden, wie in den "Vorbemerkungen" bereits erwähnt wurde, die Ergänzungen und Zusätze des Herausgebers kenntlich gemacht.]
 

    Abgesehen von den p -Gesetzen 5) und Extremgesetzen 8), welche ich erst der Theorie verdanke, nachher aber auch empirisch bewährt fand, sind die vorigen Gesetze von mir zuerst rein empirisch gefunden worden, wonach diese Gesetze auch eine empirische Gültigkeit rücksichtslos auf alle Theorie in Anspruch nehmen können und gegenseits für eine damit zusammentreffende Theorie Zutrauen erwecken können. Vergeblich freilich würde man durch rohe Bestimmung aus primären, mit großen Unregelmäßigkeiten durchsetzten Tafeln eine genaue Bestimmung des D und der damit in Beziehung stehenden Werte zu erlangen und hiermit eine Kontrolle der vorigen Gesetze zu gewinnen suchen; es wird also noch zu besprechen sein, wie man durch angemessene Reduktion und Interpolation der Verteilungstafeln zum Zwecke kommt.

    § 34. Ausdrücklich ist erwähnt worden, daß die vorigen Gesetze für den Fall nicht zu starker verhältnismäßiger Schwankung der K.-G. (im Sinne von § 9 ) als genügend angesehen werden können, bei starker verhältnismäßiger Schwankung aber eine weitere Verallgemeinerung des G. G. fordern. Nun ist noch anzugeben, was hierzu Anlaß geben kann, und wie diese Verallgemeinerung zu fassen.

    Das G- G. kann seiner Natur nach selbst bei unendlichem m nur ein Annäherungsgesetz sein und ist von GAUSS selbst nur dafür erklärt worden10); denn es setzt der Größe der Abweichungen von A nach beiden Seiten keine Grenze, sondern läßt nur die W. der Abweichungen mit wachsender Größe derselben immer mehr abnehmen. Es leuchtet aber ein, daß, wenn die Abweichungen von A ins Negative größer als A selbst werden sollten, die abweichenden Werte a kleiner als Null werden, was unmöglich ist. Also kann das G. G. von vornherein keine unbeschränkte Gültigkeit in Anspruch nehmen, wenn schon mit größter Approximation für Fälle gültig bleiben, wo die Abweichungen vom arithmetischen Mittel, mindestens die an Zahl weit überwiegenden, in dessen Nähe und durchschnittlich sehr klein bleiben. Dasselbe aber, was in dieser Hinsicht betreffs der negativen Abweichungen von A nach dem reinen G. G. gilt, gilt nicht minder von den negativen Abweichungen bez. D und der vorigen Verallgemeinerung und hiermit Modifikation des G. G., und es gibt K.-G., bei denen die verhältnismäßige Schwankung um D so groß ist, daß man mit dem vorigen Prinzip der Verallgemeinerung nicht mehr ausreicht.
 

    10) Theoria motus corporum coelestium; Lib. II. Sect. III. artic. 178. Theoria combinationis observ. error. minim. obnoxiae; Pars prior, art. 17; Comment. societ. Götting. rec. Vol. V.
 

    Hiernach ist eine Verallgemeinerung des G. G. zur Anwendbarkeit auf K.-G. nach zwei Richtungen oder in doppeltem Sinne zu unterscheiden: 1) sofern Kollektivabweichungen nicht die den Beobachtungsfehlern zugeschriebene symmetrische W. bezüglich des arithmetischen Mittels zeigen, der Fall der Asymmetrie aber als der allgemeinere angesehen werden kann, welcher den der Symmetrie nur als besonderen Fall unter sich begreift; 2) sofern Kollektivabweichungen, wenn auch bei der Mehrzahl der K.-G., doch nicht bei allen die den Beobachtungsfehlern zukommende geringe verhältnismäßige Schwankung um die Hauptwerte zeigen.

    Da nun die K.-G., bei welchen man mit einer Verallgemeinerung des G. G. in erster Richtung auskommt, nicht nur bei weitem zahlreicher, sondern auch viel einfacher zu behandeln sind als die, bei welchen es nötig ist, die noch weitere Verallgemeinerung in zweiter Richtung Platz greifen zu lassen, und da durch Vorwegnahme der Verallgemeinerung in erster Hinsicht sich die Darstellung des Prinzips der Verallgemeinerung in zweiter Hinsicht erleichtert, so ist diese Vorwegnahme hier geschehen, nun aber doch, um unserer Untersuchung überhaupt die erforderliche Allgemeinheit zu geben, auf die Verallgemeinerung in zweiter Hinsicht einzugehen, und zwar begegnen sich von vornherein zwei Gesichtspunkte, dem Gedanken eine Richtung zu geben, wie diese Verallgemeinerung zu fassen sein möchte.

    § 35. Bisher haben wir immer bloß arithmetische Abweichungen bezüglich irgend welcher Hauptwerte im Auge gehabt, d. h., welche als positive und negative Unterschiede davon gefaßt werden können, und gewöhnlich werden solche, wie auch hier ferner geschehen wird, unter Abweichungen schlechthin verstanden. Ich bezeichne sie angegebenermaßen allgemein mit Q . Aber man kann auch von Verhältnisabweichungen bezüglich gegebener Hauptwerte sprechen, d. h. Verhältnissen, in welchen ein gegebener Hauptwert H überstiegen oder unterstiegen wird, die wir allgemein mit y bezeichnen wollen. Wenn also Q = a - H eine arithmetische Abweichung ist, ist y = a : H eine Verhältnisabweichung, und während wir Q ' und Q,als positive und negative arithmetische Abweichungen unterscheiden, je nachdem a > H oder < H, unterscheiden wir ans demselben Gesichtspunkte und y,als obere und untere Verhältnisabweichungen.

    Während nun starke arithmetische Abweichungen von einem Hauptwerte ins Negative bis unter die Größe des Hauptwertes hinabführen und hiermit unmöglich werden, gilt dies nicht von starken unteren Verhältnisabweichungen, die vielmehr, so weit sie nach unten gehen mögen, nur bis zu immer kleineren Bruchwerten des Hauptwertes führen, welche aber eben so positiv als der Hauptwert selbst bleiben, auf den sie sich beziehen; denn negative Verhältnisabweichungen gibt es überhaupt nicht, sondern nur positive, welche 1 übersteigen; und solche, welche (als echte Brüche) 1 nicht erreichen. Wonach sich daran denken ließ, daß das Verteilungsgesetz, um auf verhältnismäßig stark schwankende K.-G. nach unten noch eben so anwendbar zu bleiben als auf schwach schwankende, prinzipiell überhaupt statt auf arithmetische Abweichungen auf Verhältnisabweichungen beziehbar sein möchte.

    Mit diesem mathematischen Gesichtspunkte aber trifft folgender empirischer in derselben Richtung zusammen.

    Beobachtungsfehler sind, allgemein gesprochen, wenigstens bezüglich der Messung von Raumlängen, wesentlich unabhängig von der Größe des zu messenden Gegenstandes, insofern nicht mit dessen Größe die Maßmittel sich ändern, sich zusammensetzen, komplizieren; denn freilich die Beobachtungsfehler bei Messung einer Meile werden größer sein als bei Messung einer Fußlänge, aber nur, weil mehr und zusammengesetztere Operationen zur Messung der ersteren gehören; indes die Beobachtungsfehler bei Messung eines hohen Thermometer- oder Barometerstandes allgemein gesprochen nicht größer sind als bei Messung eines niedrigen.

    Hiergegen variieren K.-G. im allgemeinen in wesentlicher Abhängigkeit von ihrer Größe, wenn dies im Sinne folgender Beispiele verstanden wird. Ein Floh ist durchschnittlich ein kleines Wesen, und so sind auch die Abweichungen der einzelnen Flohexemplare vom mittleren Floh durchschnittlich nur klein, nur Bruchteile von dessen mittlerer Größe, und der ganze Unterschied zwischen dem größten und kleinsten Floh bleibt nur klein. Die Maus ist durchschnittlich viel größer als der Floh, das Pferd wieder viel größer als die Maus, ein Baum viel größer als ein Kraut u. s. w., und überall kehrt eine entsprechende Bemerkung wieder. Die Abweichungen der einzelnen Mäuseexemplare von der mittleren Maus sind durchschnittlich größer als die der einzelnen Flohexemplare vom mittleren Floh u.s.f.. Auch läßt sich diese Abhängigkeit der durchschnittlichen Größe der Variationen von der durchschnittlichen Größe des Gegenstandes daraus verstehen, daß die inneren und äußeren ändernden Ursachen auf große Gegenstände mehr Angriffspunkte finden als auf kleine. Zwar auch die Qualität der Gegenstände hat durch die größere oder geringere Leichtigkeit, mit der sie den ändernden Einflüssen nachgibt, Einfluß; ferner kann die Zugänglichkeit für äußere ändernde Einflüsse nach Umständen verschieden sein. Also ist eine genaue Proportionalität der mittleren Größe der Abweichungen mit der mittleren Größe der Gegenstände von vornherein nicht zu erwarten. Aber jedenfalls bleibt die Größe der Gegenstände ein Hauptfaktor für die Größe ihrer Änderungen, und wenn schon deren durchschnittliche Größe bei verschiedenen K.-G. nicht der Mittelgröße der Gegenstände rein proportional ist, bleibt doch sehr denkbar, daß für jeden insbesondere bei der für ihn gegebenen Leichtigkeit, den ändernden Einflüssen zu folgen, und Zugänglichkeit zu denselben das einfachst mögliche Verteilungsgesetz der Abweichungen sich vielmehr auf Verhältnisabweichungen als arithmetische Abweichungen beziehe.

    § 36. Zunächst freilich tritt diesem Gedanken die scheinbare Schwierigkeit entgegen, daß das G. G. seiner Natur nach nur auf Abweichungen beziehbar ist, welche als positive und negative Unterschiede von ihrem Ausgangswerte faßbar sind, hiernach nicht als besonderer Fall unter ein Gesetz treten kann, welches sich auf Verhältnisabweichungen bezieht, und doch suchen wir ein Gesetz, welches für den Fall verschwindender Asymmetrie und schwacher verhältnismäßiger Schwankung in das G. G. übergeht oder dessen Verteilungsweise wiedergibt. Aber übersetzen wir die Verhältnisabweichungen y = a : H in ihre Logarithmen, log y = log a - log H, die wir kurz als logarithmische Abweichungen mit l bezeichnen mögen, und bemerken dazu:

    1) daß die logarithmischen Abweichungen l = log a - log H den Charakter der arithmetischen Q teilen, sich als positive und negative Unterschiede von einem gegebenen Ausgangswerte fassen zu lassen, nur daß dieser selbst ein logarithmischer, nicht mehr H, sondern log H ist;

    2) daß, solange die arithmetischen Abweichungen verhältnismäßig klein gegen ihren Hauptwert sind, also eine verhältnismäßig geringe Schwankung um denselben stattfindet, wie es beim G. G. vorausgesetzt ist, die Verhältnisse der arithmetischen Abweichungen mit denen der zugehörigen logarithmischen merklich übereinstimmen, was nicht nur mathematisch beweisbar, sondern auch empirisch an den Logarithmentafeln nachweisbar ist, indem man die Differenzen der Logarithmen mit denen der zugehörigen Zahlen vergleicht.

    Also würden wir auch bei verhältnismäßig schwacher Schwankung von dem logarithmischen Prinzip, als dem allgemeinst zulänglichen, mit Vorteil Gebrauch machen können, nur daß dieser Vorteil bei verhältnismäßig schwacher Schwankung zu gering ist, um die vermehrte Mühe zu lohnen, welche die logarithmische Behandlung mitbringt, indes er bei verhältnismäßig starker Schwankung entschieden hervortritt, wozu die empirischen Belege folgen werden; denn freilich ohne empirische Belege könnte die vorige Auffassung überhaupt nur als eine in die Luft gebaute Hypothese erscheinen. Die Anwendung der logarithmischen Behandlung auf die Empirie aber ist diese.

    Man reduziere die gegebenen Einzelmaße a des K.-G. auf ihre Logarithmen a = log a, suche in derselben Weise, als es bei Aufsuchung des dichtesten Wertes D aus den a geschieht, worauf später bestimmter einzugehen, den dichtesten Wert dieser a, welcher D heiße, und der, wie später bestimmter zu erläutern, nicht mit log D zu verwechseln ist, nehme von diesem Werte D die logarithmischen Abweichungen l= aD = log a - D, welche teils positiv, teils negativ sein werden, suche von den l nach jeder Seite insbesondere, d. i. l' und l,, die einfachen arithmetischen Mittel oder sog. mittleren logarithmischen Abweichungen e', e, respektive:

,

wobei m' und m,die Zahl der positiven und negativen Abweichungen, nicht wie früher der a von D, sondern der a von D bedeuten, und bestimme dann die Verteilung der logarithmischen Abweichungen l ', l, auf jeder Seite insbesondere ebenso in Bezug auf e¢, e,, m', m,nach zwiespältigem G. G., wie es oben (§ 33) unter 2) angegeben ist, nur daß e', e,,m', m,hier in angegebener Weise logarithmisch, statt wie früher arithmetisch bestimmt sind.

    Aus diesen für die logarithmischen Abweichungen geltenden Bestimmungen folgen dann durch Übersetzung derselben in die nach den Logarithmentafeln zugehörenden Zahlen Bestimmungen für die Verhältnisabweichungen und deren Hauptwerte, worauf aber für jetzt nicht einzugehen, indem die erforderlichen Ausführungen darüber einem späteren Kapitel vorbehalten bleiben, welches überhaupt auf die logarithmische Behandlung der K.-G. näher eingeht (Kap. XXI).

    Außer dem logarithmisch dichtesten Werte D  kann man dann auch das logarithmische Mittel G als åa : m, d. h. als arithmetisches Mittel der Logarithmen von a, und den logarithmischen Zentralwert C, als den Wert von a, der gleichviele a über sich und unter sich hat, bestimmen.

    Von den logarithmischen Werten kann man ferner zu den Zahlwerten, die ihnen nach den Logarithmentafeln zugehören, übergehen, und besondere Bezeichnungen dafür festsetzen, was nicht müßig ist, da diese Werte ihre beachtenswerte Bedeutung haben. So läßt sich der zu D gehörige Zahlwert mit J als dichtester Verhältniswert bezeichnen, indem er die Bedeutung hat, daß in gleichem Verhältnisabstande von ihm nach jeder Seite mehr Werte a und mithin a vereinigt sind als in demselben Verhältnisabstande von irgend einem anderen a.

    Der zu dem logarithmischen Zentralwerte C gehörige Zahlwert stimmt mit dem arithmetisch bestimmten C überein; denn wenn ein Wert von a, d. i. C, gleichviel a über sich und unter sich hat, so hat auch der Logarithmus von C, d. i. C, gleichviel Logarithmen der a, d. i. gleichviel a, über sich und unter sich.

    Der mit G zu bezeichnende, welcher als Zahlwert zu G gehört, stellt das geometrische Mittel der a dar.

    § 37. Wir haben also folgende drei allgemeine Gesetze oder Prinzipe zu unterscheiden, von denen jedes folgende als eine Verallgemeinerung und zugleich Verschärfung des vorhergehenden betrachtet werden kann, und deren wesentliche Unterschiede hierbei kurz resumiert werden sollen.

    1) Das reine, einfache, ursprüngliche GAUSS'sche Gesetz oder Prinzip, für die Voraussetzung symmetrischer Wahrscheinlichkeit der beiderseitigen arithmetischen Abweichungen Q' , Q,vom arithmetischen Mittel. Hierbei wird der Ausgang vom arithmetischen Mittel A genommen, die beiderseitigen Abweichungen davon als arithmetische bestimmt, die mittlere Abweichung e = å Q : m für beide Seiten gemeinsam als Quotient der Summe der beiderseitigen Abweichungen nach absolutem Werte durch die Gesamtzahl derselben direkt (oder nach einer bekannten Formel aus der Summe der Abweichungsquadrate als ) berechnet und nach der t -Tabelle die Verteilung bestimmt. Zur ausdrücklichen Unterscheidung der Beziehung der Abweichungen auf A ersetze ich die allgemeinen Bezeichnungen m, Q, e durch µ, D , h.

    2) Die arithmetische Verallgemeinerung des G. G., für die Voraussetzung asymmetrischer W. der Abweichungen Q' ,Q,vom arithmetischen Mittel, allgemein gültig für die verschiedensten Grade der Asymmetrie, doch nur zureichend für verhältnismäßig schwache Schwankung um die Hauptwerte, wie sie den meisten K.-G. zukommt. Hier wird der Ausgang von dem arithmetisch dichtesten Werte D genommen, der aus den Maßwerten a in später zu betrachtender Weise l1) erhalten wird, ohne sie vorher in Logarithmen übersetzt zu haben. Die beiderseitigen Abweichungen Q ' , Q, werden als arithmetische nach beiden Seiten von D besonders genommen, ihre mittleren Werte e' = åQ ' : m' und e,= åQ,: m,bestimmt, und nun für jede Seite insbesondere die Verteilung nach dem zweispaltigen G.G. (§ 33) unter Setzung von t' = Q ' : e'für positive Seite und von t, = Q,: e,für negative Seite nach der t -Tabelle bestimmt. Zur ausdrücklichen Unterscheidung der Beziehung der Abweichungen auf D ersetze ich die allgemeinen Bezeichnungen m, Q , e durch m,, e.

11) [S. Kap. XL]     3) Die logarithmische Verallgemeinerung des vorigen Gesetzes oder Prinzips, gültig für beliebig große Asymmetrie und beliebig große verhältnismäßige Schwankung. Hiernach sind von allen einzelnen Maßwerten a die Logarithmen a = log a zu nehmen, hieraus der dichteste Wert D zu bestimmen, die logarithmischen Abweichungen l ' , l, nach beiden Seiten zu nehmen, hieraus die Mittel derselben e' , e,zu nehmen und auf a, D, l, l,, e' , e, ganz entsprechende Bestimmungen anzuwenden als nach der vorigen, der arithmetischen Verallgemeinerung auf a, D, ' , ,, e' , e,. Von den logarithmischen Werten läßt sich dann auf die Verhältniswerte als nach den Logarithmentafeln zugehörige Zahlen kommen.

    Als prinzipiell streng sehe ich nun eigentlich bloß die logarithmische Verallgemeinerung des G. G., d. i. 3) an; aber sie ist in ihrer Anwendung sehr umständlich, und bei verhältnismäßig schwacher Schwankung kann man sehr wohl nach der arithmetischen Verallgemeinerung 2) verfahren, wie sich erfahrungsmäßig beweisen wird. Am wenigsten genügt überall das einfache G. G. 1), indes es am einfachsten anwendbar ist, weil der arithmetische Mittelwert A als Ausgangswert der Abweichungen leichter als die dichtesten Werte D und D mit verhältnismäßiger Genauigkeit zu bestimmen ist; bei schwacher Asymmetrie aber weichen die Resultate von 1), 2) und 3) wenig von einander ab.

    Je nachdem ich nun folgends die Behandlung eines Gegenstandes unter Voraussetzung symmetrischer W. der Abweichungen bez. A, also nach erstem Prinzip, oder unter Voraussetzung asymmetrischer W. bez. A, also nach zweitem oder drittem Prinzip im Auge habe, werde ich kurz von Behandlung nach symmetrischem oder asymmetrischem Prinzip sprechen; und je nachdem ich die Behandlung mit Anwendung arithmetischer Abweichungen, also nach erstem oder zweitem Prinzip, oder mit Anwendung logarithmischer Abweichungen, also nach drittem Prinzip, im Auge habe, werde ich von arithmetischer oder logarithmischer Behandlung sprechen.

    Im allgemeinen findet man für das Folgende die Behandlung der Gegenstände und Aufstellung der Sätze nach arithmetischem Prinzip geführt; der Übergang zum logarithmischen Prinzip und die Behandlung der eine solche wesentlich fordernden Gegenstände wird aber dem Kapitel XXI besonders vorbehalten.