IV. Requisiten; Abnormitäten.

    § 13. Soll ein K.-G. eine erfolgreiche Untersuchung zulassen, so muß er gewisse Bedingungen erfüllen, die zum Teil in seinem Begriffe liegen, zum Teil sich allgemeineren Gesichtspunkten unterordnen.

    Nach der einleitend vorausgeschickten Erklärung soll ein K.-G. ein unter einen bestimmten Begriff faßbarer, in seinen quantitativen Bestimmungen nach Zufall schwankender Gegenstand aus unbestimmt vielen Exemplaren sein. Nun lassen sich unendlich viele Exemplare von ihm nicht haben, doch muß man besprochenermaßen möglichst viele von ihm zu erhalten suchen, so viele, daß die strenggenommenen nur für eine unendliche Zahl in Anspruch zu nehmenden, idealen Gesetze des Zufalls noch mit einer für den angestrebten Grad der Genauigkeit hinreichenden Annäherung bestätigt werden können. Aber sei diese Bedingung hinreichend erfüllt, so muß ein K.-G. noch aus anderen Gesichtspunkten normal oder fehlerlos sein, wie wir uns kurz ausdrücken mögen, um sich den gesetzlichen Bestimmungen zu fügen, die sich als die allgemeinsten für K.-G. aufstellen lassen, welche diesen Fehlern nicht unterliegen.

    Hierzu gehört vor allem, daß die Exemplare aus keinem anderen Gesichtspunkte zu einem K.-G. zusammengenommen, noch solche davon ausgeschlossen werden, als im Begriffe des Gegenstandes begründet liegt, daß also der Gegenstand nicht nur aus vorigem Gesichtspunkte vielzahlig, sondern auch insofern vollzahlig sei, als alle von ihm in den Grenzen seines Begriffs sich darbietenden Exemplare auch wirklich mit gezählt werden, nicht etwa aus dieser oder jener Nebenrücksicht der eine oder andere Teil der Maßskala in Wegfall komme, hiermit der Gegenstand so zu sagen verstümmelt werde, wie es z. B. der Fall sein würde, wenn in Rekrutenmaßtafeln die sog. Untermäßigen ausgeschlossen werden sollten, indes gegenseits der Gegenstand auch möglichst rein und ungemischt erhalten werden muß, d. h. Exemplare, die nach irgend einer Seite aus seinem Begriffe heraustreten, von ihm ausgeschlossen werden müssen, also z. B., wo der Kollektivbegriff auf gesunde Individuen geht, Exemplare mit krankhaft veränderten Dimensionen in Wegfall kommen müssen; daher in die von mir zu behandelnden WELCKER'schen Schädelmaße weder faßförmig aufgetriebene Hydrocephale noch entschieden mikrocephale Schädel mit eingehen. Daran aber knüpfen sich Bemerkungen von allgemeiner Tragweite.

    § 14. Gewiß ist, daß die Grenze zwischen gesunden und krankhaft veränderten Schädeln nicht sicher zu bestimmen ist, und eine entsprechende Unsicherheit über die Abgrenzung des Gegenstandes kehrt in sehr vielen anderen Fällen wieder; wenn aber nur die Unsicherheit sich in so engen Zahlengrenzen hält, daß die Grenzen der Unsicherheit, die man sich wegen unausgeglichener Zufälligkeiten gefallen lassen muß, dadurch nicht überschritten werden, kann kein erheblicher Nachteil im ganzen daraus erwachsen, und wird man sich durch den Erfolg selbst befriedigt finden können, wenn der, nach bestem Ermessen abgegrenzte Gegenstand sich den normalen Verteilungsgesetzen fügt, oder wird man so viele Exemplare abschneiden können, daß es der Fall ist.

    Jedoch erhebt sich hierbei folgende sehr wichtige Frage: Es ist freilich logisch selbstverständlich, daß, wenn gesunde Individuen oder Teile von solchen, wie Schädel, hinsichtlich der Verteilungsverhältnisse ihrer Exemplare untersucht werden sollen, nicht solche, welche als krank erkannt oder dafür angenommen sind, mit eingemischt werden dürfen, und nicht minder selbstverständlich, daß die Feststellung der Verhältnisse für gesunde Exemplare ein größeres Interesse hat, als für eine Mischung von gesunden und kranken; nur scheint es wider die Allgemeinheit der Aufgabe der Kollektivmaßlehre zu laufen, zur Feststellung der allgemeinsten Verteilungsgesetze den K.-G. aus bloß gesunden Exemplaren dem Gegenstande aus einer Mischung von gesunden mit kranken vorzuziehen.

    In der Tat, wenn die krankhaft veränderten Schädel aus dem Begriffe der gesunden heraustreten, so fallen sie doch noch unter den Begriff der Schädel überhaupt, und was berechtigt uns, bei Aufsuchung der allgemeinsten Gesetze für K.-G. die kranken Schädel auszuscheiden, da wir vielmehr, hierzu nur den weiteren Begriff, der alle Schädel einschließt, statt des engeren der gesunden anzuwenden hätten; und es gibt unzählige andere Fälle, wo eine gleiche Möglichkeit der engeren und weiteren Fassung besteht; ja streng genommen besteht eine solche überall, da zuletzt alle K.-G. sich unter dem Begriffe eines existierenden Wesens vereinigen lassen, der nur nach verschiedensten Richtungen verengert werden kann. Doch würden wir mit dem Versuche, unsere für allgemein ausgegebenen Gesetze an sehr weiten Fassungen der K.-G. zu bewähren, schlecht fahren, indem sie sich nicht oder nur unvollkommen daran bewähren würden, indes sie doch bei hinreichend engen Fassungen für die allerverschiedensten K.-G. dieselben bleiben und insofern ihre Allgemeingültigkeit bewähren. Nun fragt sich, welcher Gesichtspunkt maßgebend für die einzuhaltende Beschränkung der Weite ist.

    Diese scheinbar schwierige Frage ist mit Rücksicht auf folgende tatsächlichen Verhältnisse zu beantworten.

    Wenn wir Gegenstände, die bei hinreichend enger Fassung für sich den für die verschiedensten Gegenstände gemeinsamen Verteilungsgesetzen entsprechen, vermischen, so muß folgende Bedingung erfüllt sein, wenn auch die Mischung denselben Gesetzen noch entsprechen soll: Die Konstanten oder wesentlichen Elemente, durch welche die Verteilungsverhältnisse bestimmt werden, also mindestens arithmetischer Mittelwert und mittlere Abweichung davon, womit die anderen Elemente mehr oder weniger zusammenhängen, dürfen für die komponierenden Gegenstände nicht weiter von einander abweichen, als durch unausgeglichene Zufälligkeiten erklärlich ist, wonach wir einstimmige und disparate Gegenstände als solche unterscheiden können, welche diese Bedingung erfüllen, und welche sie nicht erfüllen, andererseits einheitliche und zwiespältige als solche, welche aus einstimmigen, und welche aus disparaten Gegenständen zusammengesetzt sind. Jede Erweiterung des Begriffs eines K.-G. aber führt eine Zusammensetzung desselben mit einem oder mehreren anderen, möglicherweise disparaten Gegenständen mit sich.

    Aus diesem Gesichtspunkte nun ist bei vielen Gegenständen unmittelbar einleuchtend, daß sie nicht vermischt werden dürfen. In der Tat wird es niemand einfallen, Männer und Frauen oder Kinder und Erwachsene in denselben K.-G. zu vereinigen, wenn die Verteilung ihrer Exemplare hinsichtlich der Körperlänge in Betracht gezogen werden soll, ungeachtet sie gemeinsam unter den weiteren Begriff menschlicher Wesen fallen; aber man weiß vorweg, daß wesentlich verschiedene Mittelwerte dafür bestehen, wodurch sie zu disparaten Gegenständen werden. Und so muß auch eine Zusammensetzung gesunder Schädel mit krankhaft veränderten Schädeln zu einem K.-G. unstatthaft gefunden werden, insofern beide sich disparat gegen einander verhalten.

    § 15. Aus diesem Gesichtspunkte scheinen mir sehr instruktiv die Ergebnisse aus Untersuchungen über die Rekrutenmaße, die, nachdem ihrer oben (Kap. III unter I. A) flüchtig erwähnt ist, im zweiten Teile dieses Werkes (Kap. XXIV) eingehender mitgeteilt werden sollen.

    Rekrutenmaße können überhaupt für die verschiedensten Länder, Zeiten, Altersstufen unter dem weitesten Begriffe solcher Maße zusammengefaßt, aber auch sehr spezialisiert werden; und von vornherein wird man z. B. 18 jährige Rekruten eines Landes nicht mit 20 jährigen eines anderen Landes gemischt behandeln wollen, da beide sich durch verschiedene Mittelmaße unterscheiden; aber auch gleichalterige Rekruten desselben Landes lassen Spezialisierungen in verschiedenem Sinne zu. So habe ich die Rekrutenmaße von (2ojährigen) Leipziger Studenten einerseits und die der übrigen Leipziger Bevölkerung, sog. Leipziger Stadtmaße, andererseits besonders behandelt. Für die ersten hat sich eine sehr befriedigende, für die anderen eine nach gewisser Beziehung unvollkommene Bestätigung der aufzustellenden allgemeinen Verteilungsgesetze, welche ich fundamentale nenne, ergeben; indem sich bei Vergleich zwischen Rechnung und Beobachtung gezeigt hat, daß bei letzteren die kleinen Maße verhältnismäßig häufiger vorkommen, als es nach Berechnung auf Grund der fundamentalen Gesetze der Fall sein sollte, ohne daß unausgeglichene Zufälligkeiten hinreichten, es zu erklären. Dasselbe ergab sich für die Rekrutenmaße der gemischten Bevölkerung verschiedener größerer Distrikte Sachsens. Was ist der Unterschied des ersten von den anderen Fällen? Die Rekrutenmaße der Studenten beziehen sich auf den beschränkten Umfang aus verhältnismäßig wohlhabenden, einem normalen Wachstume der Individuen die Mittel nicht versagenden Ständen; die anderen auf Individuen aus einer Mischung solcher Stände mit Ständen, in welchen es von der Zeugung und Geburt an mehr oder weniger an solchen Mitteln mangelt, und abnorm verbuttete Individuen nicht selten vorkommen, deren Maße in die Rekrutenmaßliste mit aufgenommen sind, wenn schon die Individuen selbst in den Dienst nicht mit eingestellt werden.Indieser Hinsicht dürften folgende Data interessieren.

    In den mir zu Gebote stehenden 20 Jahrgängen von Leipziger Studentenrekrutenmaßen mit einem Gesamt-m = 2047 fällt nur ein einziges Individuum (mit 60 Zoll) unter das Maß 64 Zoll 1) ; in 17 Jahrgängen von Maßen der übrigen Leipziger Bevölkerung (kurz Leipziger Stadtmaße) mit einem Gesamt-m = 8402 fallen 197 Individuen unter 64 Zoll (das kleinste mit 48 Zoll); und reduzieren wir 197 nach Verhältnis des Gesamt-m, so fallen gegen 1 Individuum der Leipziger Studentenmaße noch 48 der Leipziger Stadtmaße unter 64 Zoll. Die Leipziger gemischte Bevölkerung enthält aber, wie die jeder großen Stadt, einen großen Prozentsatz elendes Proletariat. Doch weiter: 3 Jahrgänge Rekrutenmaße der Bornaschen Amtshauptmannschaft außer Leipzig (vorzugsweise kleine Städte und ackerbauende Dörfer einschließend) mit m = 2642 gaben absolut 50 oder, wie vorhin reduziert, 39 Maße unter 64 Zoll (mit dem Minimalmaße 51 Zoll), und 3 Jahrgänge Rekruten der Annaberger Amtshauptmannschaft (viel Gebirgs- und arme Fabrikbevölkerung einschließend) mit m = 3067 absolut 62, reduziert 41 Maße unter 64 Zoll (mit dem Minimalmaße 49 Zoll). Also nach Proportion des m haben wir überhaupt beziehentlich für die angegebenen 4 Abteilungen:

1     48     39     41 Maße unter 64 2), und gehen wir zu den arithmetischen Mitteln (nach den primären Tafeln) über, so finden sich folgende Werte in sächsischen Zollen: Stud.     Lpzg. St. M.     Borna     Annaberg

71,76         69,61           69,34     69,00.

Also ist das arithmetische Mittel der Leipziger Studenten um mehr als 2 Zoll größer als das der gemischten sächsischen Bevölkerung, und dasselbe gilt für Zentralwert und dichtesten Wert. Andererseits ist die mittlere Abweichung bezüglich des arithmetischen Mittels nach einer für alle Abteilungen gleichförmigen Bestimmungsweise in sächsischen Zollen für: Stud.     Lpzg. St. M.     Borna     Annaberg                                                             2,01         2,26              2,14         2,33.

Und natürlich würde der Unterschied nach beiden Beziehungen noch mehr betragen, wenn die gemischte Bevölkerung der drei letzten Abteilungen in solche mit normalem und solche mit abnormem Wachstume zerlegt und beide einander gegenüber gestellt werden könnten.
 

    1 ) [1 sächsischer Zoll = 23,6 mm.]

    2 ) Weniger auffällig als bezüglich der kleinsten Maße ist der Unterschied zwischen den Studentenmaßen und Maßen der anderen drei Abteilungen bezüglich der größten; und stimmt auch die Verteilungsrechnung bei letzteren nach oben besser als nach unten; doch fehlt ein Unterschied bezüglich der größten Maße nicht ganz. Die Studentenmaße schlossen nach oben mit den drei Maßen 80; 80,75; 82,5; die Leipziger Stadtmaße mit 79,5 (4mal) und 79,75; die Borna'schen mit 77,25; 77,75; 78,25; die Annaberg'schen mit 76,75; 77,25; 78,5.
 

    Dabei ist nicht zu behaupten, daß, wenn wir die Rekruten des Proletariats wirklich ebenso für sich vor uns hätten als die der wohlhabenden Klassen in den Studenten, sich unsere fundamentalen Verteilungsgesetze ebenso gut bei jenen als bei diesen bestätigen würden, weil das Proletariat selbst noch ein weiter Begriff ist, welcher der Spezialisierung nach verschiedenen Richtungen fähig ist, und nicht apriori zu versichern ist, daß seine Spezialitäten im obigen Sinne einstimmig sind. Ja von vornherein würde dasselbe ebenso wenig von den durch die Studenten vertretenen wohlhabenden Klassen zu behaupten sein; aber da die Erfahrung selbst lehrt, daß die Spezialisierung in den Studentenmaßen weit genug getrieben ist, um eine Bestätigung der betreffenden Gesetze zu gestatten, so weit es überhaupt wegen unausgeglichener Zufälligkeiten möglich ist, so dürfen wir uns auch dabei beruhigen, wogegen wir hier wie dort die Spezialisierung noch weiter zu treiben hätten, wenn sie nicht genügte.

    Auch kann recht wohl zugestanden werden, daß, wenn wir nur das m der Studentenrekrutenmaße recht vergrößerten und dann nach verschiedenen Gesichtspunkten, z. B. je nach der Herkunft aus Dörfern oder Städten oder aus verschiedenen Jahrgängen oder verschiedenen Ständen in Abteilungen sonderten, die noch ein, hinreichendes m hätten, um feine Unterschiede der wesentlichen Elemente mit Sicherheit entdecken zu können, es an solchen nicht fehlen würde, welche einer vollkommenen Einstimmigkeit zuwiderlaufen; und es hindert nichts, eine Aufgabe der Untersuchung daraus zu machen.

    Aber wenn diese Unterschiede nur klein sind, und die mancherlei Abteilungen, die man nach den verschiedensten Gesichtspunkten machen kann, hiermit die Unterschiede zwischen den Elementen selbst, mit dem Charakter der Zufälligkeit variieren, so läßt sich nicht nur vernünftigerweise voraussetzen, sondern lehrt die Tatsache selbst, daß die betreffenden Unterschiede der Elemente in den unvermeidlichen unausgeglichenen Zufälligkeiten ununterscheidbar mit aufgehen und der Bewährung der fundamentalen Gesetze kein wesentliches Hindernis entgegensetzen.

    § 16. Um so weniger aber darf man in den Abweichungen, welche die Verteilungsverhältnisse zu weit gefaßter und dadurch zwiespältiger K.-G. von den fundamentalen Gesetzen zeigen, einen Widerspruch gegen diese Gesetze sehen, als es prinzipiell hinreicht, die Mischungsverhältnisse und wesentlichen Elemente der komponierenden Gegenstände eines zwiespältigen Gegenstandes zu kennen, um nach den fundamentalen Gesetzen selbst die Verteilungsverhältnisse des zusammengesetzten Gegenstandes zu berechnen, so daß sie also auch in dieser Hinsicht ihre allgemeine Gültigkeit behaupten.

    Allgemein folgt aus Vorstehendem, daß wir uns bei Feststellung und Prüfung der fundamentalsten Verteilungsgesetze nicht nur hüten müssen, die nach verschiedensten Richtungen auseinander weichenden Verteilungsresultate zu weit gefaßter, untriftig gemischter Gegenstände gegen die Allgemeingültigkeit der für hinreichend eng gefaßte, einheitliche Gegenstände in Anspruch genommenen Gesetze geltend zu machen, sondern auch bei der Wahl zwischen den Resultaten einer weiteren und engeren Fassung, unter sonst gleichen Umständen, die der engeren für die Konstatierung der fundamentalen Gesetze vorzuziehen haben. Den vorigen Betrachtungen ordnen sich wesentlich die folgenden unter.

    Die Herkunft der Exemplare eines K.-G. aus verschiedenen Räumen oder Zeiten oder beiden zugleich führt leicht nicht nur qualitative, sondern auch quantitative Verschiedenheiten derselben mit sich, was eine besondere Beachtung insofern verdient, als man, um ein hinreichend großes m für eine erfolgreiche Untersuchung zu erlangen, sich meist veranlaßt oder genötigt findet, den K.-G. aus Exemplaren zusammenzusetzen, welche verschiedenen Räumen oder Zeiten angehören, ja ganz demselben Raume und derselben Zeit können sie überhaupt nicht angehören. In dieser Beziehung findet nun ein Konflikt statt. Die Exemplare aus sehr von einander entlegenen oder sehr weiten Räumen und Zeiten zusammenzunehmen, setzt in Gefahr, disparate Gegenstände zu vereinigen und hiermit die fundamentalen Verteilungsverhältnisse zu verfehlen; die Exemplare aus zu engen Raum- und Zeitgrenzen zusammenzunehmen, gibt den unausgeglichenen Zufälligkeiten zu großen Spielraum, um wesentliche Bestimmungen überhaupt mit irgend welcher Sicherheit abzuleiten. Die einzuhaltenden Grenzen in dieser Hinsicht aber lassen sich nicht a priori ziehen, und schließlich muß der Erfolg selbst entscheiden, ob man mit der angenommenen zeitlichen oder räumlichen Weite des Gegenstandes zu einer befriedigenden Erfüllung der fundamentalen Verteilungsgesetze gelangt; wo nicht, die Verengerung weiter treiben, und wenn man damit in zu kleine Werte von m hinein kommt um Resultate von genügender Sicherheit zu erlangen, die Untersuchung bis zur Erlangung einer größeren Anzahl von Exemplaren aufgeben. Im allgemeinen dürfte dies jedenfalls das Praktischste sein.

    § 17. Eine besondere Aufmerksamkeit verdienen bei der Frage, ob ein Gegenstand aus disparaten Komponenten zusammengesetzt ist, folgende zum Teil schon berührte Verhältnisse der Verteilungstafeln.

    In unseren Fundamentalgesetzen liegt begründet, daß die z kontinuierlich mit den a bis zu einer gewissen Größe des a aufsteigen, bei weiter wachsendem a aber ebenso kontinuierlich absteigen, so daß es ein Maximum der z in einem mittleren Teile der Verteilungstafel (beim sog. dichtesten Werte) und zwei Minima respektive beim Anfange und Ende der Tafel (bei den extremen a) gibt. Wenn man die a als Abscissen, die z als die Ordinaten nimmt, kann man dadurch in bekannter Weise die gesetzliche Verteilung graphisch darstellen und erhält damit eine Kurve, welche bei klein genommenen i glatt bis zu einem Gipfel ansteigt und von da wieder absteigt. Aber bei den von mir sogenannten primären, d. h. unmittelbar aus den Urlisten der Maße abgeleiteten Tafeln wird man insgemein vom Anfange herein durch die ganze Tafel ein unregelmäßiges Auf- und Absteigen der z bei kontinuierlichem Wachsen der a, hiermit eine höckerige Beschaffenheit der Verteilungskurve finden; wozu die primären Verteilungstafeln des VII. Kapitels hinreichende Beispiele gewähren. Die allgemeinste, ja nie fehlende Ursache solcher Unregelmäßigkeiten nun liegt jedenfalls in unausgeglichenen Zufälligkeiten, und die hiervon abhängigen Höcker der Kurve schwinden durch eine hinreichend weit getriebene Reduktion der Tafel, d. h. nach früher (§ 6) angegebener Erklärung, Zusammennahme der z für gleich gehaltene Intervalle der a durch die ganze Tafel wie in Kapitel VIII auszuführen und durch Beispiele reduzierter Tafeln zu belegen. Aber zum Teil kann die Ursache auch darin liegen, daß K.-G. von disparater Beschaffenheit ihrer Hauptwerte sich gemischt haben.

    In der Tat läßt sich schon aus allgemeinem Gesichtspunkte übersehen, daß, wenn wir z. B. die Maße von gleich viel Männern und Frauen, die im arithmetischen Mittelwert wie dichtesten Wert sehr von einander abweichen, vermischen wollten, dadurch wesentlich, d. i. abgesehen von unausgeglichenen Zufälligkeiten, ein Anlaß zur Entstehung zweier Maximal-z mithin zweier dichtesten Werte entstehen würde, ja es könnten durch Vermischung von noch mehr disparaten Gegenständen Verteilungstafeln mit wesentlich noch mehr Maximal-z entstehen. Jedenfalls nun eignen sich zur Prüfung der Fundamentalgesetze der Verteilung nur Verteilungstafeln mit einem Maximal-z im Hauptbestande der Tafel, wogegen kleine Unregelmäßigkeiten nach den Enden der Tafel zu ohne erhebliche Störung sind. Liegen daher Verteilungstafeln vor, welche dieser Bedingung nicht entsprechen, so sind sie zur Prüfung der Gesetze nur nach solcher Reduktion brauchbar, daß sie durch hinreichende Ausgleichung der Zufälligkeiten derselben entsprechen, wonach sich die betreffenden Gesetze an der reduzierten Tafel noch sehr wohl bestätigen können, wenn die Mehrheit der Maximal-z im Hauptbestande der Tafel wirklich nur von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhing.

    Jedoch ist nicht außer Acht zu lassen, daß, da durch die Reduktion einer Verteilungstafel deren Intervalle vergrößert werden, mit den unausgeglichenen Zufälligkeiten zugleich die, von disparater Beschaffenheit der Komponenten der Tafel abhängige, Mehrheit der Maximal-z schwinden kann, wenn diese nämlich auf einander nahe a fallen, welche gemeinsam in das durch die Reduktion vergrößerte Intervall treten, hiermit ununterscheidbar werden, ja man braucht nur mit der Reduktion und hiermit Vergrößerung der Intervalle beliebig weit zu gehen, um dies sicher zu erreichen. Also wird zwar die Regel, die hinsichtlich der Verteilung zu prüfende Tafel durch Reduktion auf bloß ein Maximal-z und einen von da nach beiden Seiten absteigenden Gang der z zu reduzieren, beizubehalten sein, doch eine etwaige Abweichung von den Fundamentalgesetzen dann immer noch möglicherweise von einer disparaten Beschaffenheit der Komponenten der Tafel, die sich durch die Reduktion verwischt hat, abhängen können; mithin auch in dieser Beziehung nur die Untersuchung der Verteilung selbst entscheidend sein können.

    § 18. Jedoch wir sind mit unseren Requisiten noch nicht zu Ende. Gegenstände, welche von Menschen mit Bezug auf gewisse Zwecke oder Ideen gestaltet sind, kurz nennen wir sie artistische, unterliegen trotz der Absicht, die bei ihrer Entstehung obgewaltet hat, doch hinsichtlich der Größenbestimmungen, welche dem Zufall noch freien Raum lassen, den Kollektivmaßgesetzen; wenn aber Nebenrücksichten oder Nebenzwecke die Freiheit des Zufalls durch Bevorzugung oder Ausschließung einzelner Dimensionen wesentlich beschränken, so kann den Gesetzen auch wesentlich Abbruch geschehen, was sich durch folgende Beispiele erläutert.

    Visitenkarten, sowie die sog. Adreßkarten von Kaufleuten und Fabrikanten sieht man auf das Mannigfaltigste nach Länge wie Breite variiert, und ich glaubte anfangs, ein vorzügliches Objekt zur Prüfung unserer Gesetze darin zu haben, da sie sich in großer Anzahl, sei es aus dem täglichen Verkehr, sei es aus den Musterbüchern ihrer Verfertiger, worin sich Probeexemplare eingeklebt finden (deren ich viele von verschiedenen Verfertigern zu Messungen benutzt habe), erhalten lassen und dabei den Vorteil gewähren, daß man die Genauigkeit der Messung und Schätzung mehr als bei vielen anderen Gegenständen in der Hand hat. Aber obwohl sie sich, sei es nach Länge, sei es nach Breite gemessen, unseren Gesetzen keineswegs ganz entziehen, bieten sie, doch nur eine sehr unvollkommene Bewährung derselben dar, wovon man den Grund in folgenden Umständen suchen kann.

    Bei aller Variation ihrer Dimensionen wird doch die Freiheit des Zufalls dadurch eingeschränkt, daß die Verfertiger insgemein solche Dimensionen vorziehen, welche gestatten, die Kartonbogen, aus denen die Karten geschnitten werden, möglichst auszunutzen, d. h. so vollständig als möglich zu verbrauchen, dabei auch wohl gewisse, besonders beliebte Verhältnisse zwischen Breite und Länge, insbesondere 2 : 3 oder 3 : 5 (Annäherungen an den goldenen Schnitt) einzuhalten; und in der Tat habe ich mich bei den Messungen solcher Karten, die ich in den Musterbüchern einer Mehrheit von Fabrikanten vorgenommen, überzeugt, daß bei jedem derselben gewisse Dimensionen öfter vorkommen, als daß man es als zufällig ansehen könnte. Die Dimensionen der Galleriegemälde im Lichten des Rahmens aber unterliegen nicht demselben Nachteil und werden, nachdem ich eine große Menge Maße derselben aus den Katalogen der verschiedensten Gallerien zusammengebracht (vergl. Kap. XXVI), ein vorzügliches Material zur Bewährung der logarithmischen Maßgesetze liefern.

    § 19. Bei den Naturgegenständen andererseits gehört zu den durch den Begriff selbst bedingten Requisiten, daß die Exemplare nicht in einer naturgesetzlichen Abhängigkeit von einander stehen, welche aus den Zufallsgesetzen heraustritt. Dieser Punkt kommt namentlich bei meteorologischen K.-G. in Rücksicht. Thermometer- und Barometerstände, sowie andere meteorologische Werte zeigen an jedem Orte ein zwar im einzelnen durch Zufälligkeiten gestörtes, aber in Mittelwerten sich entschieden herausstellendes, gesetzliches Auf- und Absteigen schon beim Verfolge durch die Stunden eines Tages, nicht minder durch die Tage oder Monate eines Jahres. Diese sog. periodischen meteorologischen Werte fallen nicht unter den Begriff eines K.-G., sondern nur die nicht periodischen, insofern sie als zufällig wechselnd angesehen werden können. In dieser Beziehung können wir in Kürze meteorologische Tageswerte, Monatswerte und Jahreswerte, insofern sie von ihren vieljährigen Mitteln abweichen, und diese Abweichungen selbst als Tagesabweichungen; Monatsabweichungen und Jahresabweichungen unterscheiden, worauf hier etwas bestimmter einzugehen sein wird, da vielfach Anlaß sein wird. auf solche zurückzukommen. Knüpfen wir die Erläuterung an die thermischen Werte und Abweichungen, wovon sich die Übertragung auf andere Arten meteorologischer Werte und Abweichungen von selbst ergibt.

    Thermische Tageswerte kann jeder nach seinem Jahresdatum bestimmte Tag insbesondere geben, sagen wir z. B. der 1. Januar. Nehmen wir als Temperatur dieses Tages an einem gegebenen Orte in einem gegebenen Jahre, kurz als thermischen Tageswert des 1. Januar sei es den aus seinen 24 Stunden bestimmten Mittelwert oder die Temperatur einer, dann konsequent beizubehaltenden, bestimmten Tagesstunde oder auch das Mittel aus der Maximal- und Minimaltemperatur des Tages. Dieser Tageswert des 1. Januar sei durch eine Reihe von Jahren hinter einander beobachtet. Die nach den Jahren zufällig wechselnden Tageswerte repräsentieren die Exemplare a eines zeitlichen K.- G. Man ziehe daraus den arithmetischen Mittelwert, indem man die Summe der Tageswerte mit der Zahl derselben dividiert, welche mit der Zahl der Jahre, durch welche man beobachtet hat, zusammenfällt. Dieses Mittel heiße das allgemeine thermische Tagesmittel des 1. Januar, und die Abweichungen der in den verschiedenen Jahren erhaltenen Tageswerte a von dem allgemeinen Tagesmittel A bilden dann die einzelnen Tagesabweichungen, welche nach der angegebenen Bezeichnungsweise mit D zu bezeichnen sind. Entsprechende Bestimmungen können für den 2. Januar und jeden anderen Jahrestag an jedem Beobachtungsorte insbesondere erhalten werden.

    Anstatt für jeden Tag des Jahres aber können solche Bestimmungen auch für jede bestimmte Woche des Jahres, für jeden Monat des Jahres und für das ganze Jahr selbst aus mehrjährigen Beobachtungen erhalten werden, die dann als Wochenwerte, Wochenabweichungen, Monatswerte, Monatsabweichungen, Jahreswerte, Jahresabweichungen zu bezeichnen sind. Hiervon verdienen die thermischen Monatswerte und Monatsabweichungen besondere Beachtung, weil besonders zahlreiche Bestimmungen an vielen Orten dafür vorliegen. Die thermischen Monatswerte als a erhält man also z. B. für den Januar (und entsprechend für jeden anderen Monat) in den durch eine Reihe von Jahren bestimmten Mitteltemperaturen des Januar, welche aus den 31 Tagen desselben zu gewinnen sind; die thermischen Monatsabweichungen des Januar als D in den Abweichungen dieser a von dem allgemeinen Mittel der a. Anstatt arithmetischer Mittel und Abweichungen davon, lassen sich aber auch andere Haupt-werte und Abweichungen davon aus solchen Werten ableiten.

    Meteorologische K.-G. dieser Art sind für die Untersuchung ihrer allgemeinen Gesetze überhaupt aus mehreren Gesichtspunkten schätzbar; einmal wegen des reichlichen Materials, was dafür in den Quellen der Meteorologie vorliegt oder daraus zusammengestellt werden kann, zweitens wegen der Genauigkeit der Bestimmungen, die mit den meteorologischen Beobachtungsmitteln und Methoden erreichbar ist, drittens weil diese Gegenstände bisher das einzige Material liefern, wonach zu beurteilen, ob zeitliche K.-G. denselben Gesetzen unterliegen als räumliche. Nur leiden sie an dem sehr wichtigen Nachteil, daß, da das m derselben mit der Zahl der Jahre, durch welche die Beobachtungen reichen, zusammenfällt, nicht leicht ein großes m derselben, ja nirgends bisher ein solches vorliegt, wie es für die Sicherheit der daraus zu ziehenden Resultate erwünscht wäre.3)
 

    3 ) Unter den 70 Orten, für welche dove in einer seiner Abhandlungen die thermischen Monatsabweichungen verzeichnet, ist es bloß Berlin, wo 100 als m überschritten wird, indem der Verfolg durch 138 Jahre gesche-hen ist, und bloß Prag und London zeigen ein m über 90, respektive 94 und 92.
 

    § 20. Nun kann man allerdings ein viel größeres m aus einer gegebenen Anzahl von Jahren, als die Zahl der Jahre beträgt, auf folgendem Wege erhalten, der bei wichtigen Bedenklichkeiten doch nicht schlechthin zu verwerfen ist.

    Um von den bestimmten Vorstellungen eines QUETELET’schen Beispiels (s. quete-let’s Lettres, letzte Vertikalspalte der Tabelle p. 78) auszugehen, nehmen wir an, die Temperatur aller Januartage als Mittel zwischen Minimum- und Maximum-Temperatur jedes Tages an einem bestimmten Orte (Brüssel) sei durch 10 Jahre beobachtet worden, so werden wir nach angegebener Bestimmungsweise, welche als korrekt anzusehen ist, für jeden der 31 Januartage als K.-G., den ersten, zweiten, dritten u. s. w. ein m = 10 erhalten, was viel zu wenig ist, um die Verteilungsgesetze daran zu studieren; hiergegen werden wir ein m = 310 für den ganzen Januarmonat als K.-G. erhalten, wenn wir nach quetelet’s Vorgange bei dem betreffenden Beispiele so verfahren, daß wir die 31 Tagestemperaturen des Januar als Exemplare der Januar-Tagestemperatur für die 10 Jahre zusammennehmen, gibt 310 Exemplare, hieraus das arithmetische Mittel durch Division mit 310 ziehen, hiervon die 310 Abweichungen Dnehmen und, wenn wir wollen, auch die anderen Hauptwerte mit den Abweichungen davon daraus bestimmen.

    Nun leuchtet freilich von vornherein ein, daß, da abgesehen von den zufälligen Änderungen die Temperatur des Januar vom 1. bis zum 31. Tage gesetzlich wächst, wir hiermit eine Komplikation des zufälligen Ganges mit einem naturgesetzlichen Gange der Tageswerte erhalten, indes streng genommen der naturgesetzliche Gang bei Untersuchung der wesentlichen Verteilungsgesetze ausgeschlossen sein soll. Indes läßt sich wohl zugeben, daß die Änderungen der Tagestemperatur, welche durch den gesetzlichen Fortschritt derselben während eines Monates bedingt sind, gegenüber der durchschnittlichen Größe der zufälligen Änderungen der einzelnen Tagestemperaturen zu wenig in Betracht kommen, um die Zufallsgesetze erheblich zu stören; jedenfalls dieselben nicht aufheben, sondern eben nur stören können. Aber ein wichtigeres Bedenken erhebt sich daraus, daß ganz abgesehen von dem gesetzlichen Fortschritte durch einen Monat die meteorologischen Zustände der unmittelbar auf einander folgenden Tage überall eine gewisse Abhängigkeit von einander verraten, welche in den Gesetzen des Zufalls nicht vorgesehen ist. Im allgemeinen folgen sich mehrere warme, d. i. über der Wertmitte der Temperatur des Januar stehende, und mehrere kalte, d. i. unter dieselbe fallende Tage hinter einander, und vollzieht sich der Übergang von den einen zu den anderen nicht sprungweise, sondern durch sukzessives Aufsteigen bis zu einer gewissen Höhe über die Wertmitte und, da das Steigen doch nicht ins Unbestimmte gehen kann, Wiedersinken bis zu einer geringeren Höhe oder bis unter die Wertmitte, nur daß keine regelmäßige Periodizität in diesem Wechsel zwischen Aufsteigen und Absteigen sichtbar ist. Ähnlich mit allen sog. unregelmäßigen periodischen Veränderungen.

    Hierzu scheint nur nützlich, die Bemerkung zu machen, daß es ein sehr einfaches Mittel gibt, sich eben so von den Forderungen des reinen Zufalls für derlei Fälle als der Nichtbefriedigung durch diese Fälle zu überzeugen. Ich habe mir aus einer Reihe von Jahren die Ziehungslisten sächsischer Lotterien verschafft, in welchen die Gewinnummern nach der Reihenfolge, wie sie herausgekommen, verzeichnet sind. Wenn irgendwo, spielt hier der Zufall seine reine Rolle. Bezeichnen wir nun die geradzahligen Nummern mit einem +, die ungeradzahligen mit einem -, und verfolgen die Reihe der Zeichen durch eine große Anzahl von nacheinander folgenden Gewinnummern, so finden wir, abgesehen von einem kleinen Unterschiede wegen unausgeglichener Zufälligkeiten, eben so viel Folgen gleicher Zeichen als Wechsel der ungleichen. Tun wir aber ebenso mit den + Fällen über und - Fällen unter der aus der Gesamtheit der Fälle bestimmten Wertmitte bei meteorologischen Tagestabellen, so überwiegt entschieden die Anzahl der Folgen über die der Wechsel, Beweis einer aus den Zufallsgesetzen heraustretenden Abhängigkeit der aufeinander folgenden meteorologischen Tageswerte. Weiter aber, wenn wir statt voriger Bezeichnung der aufeinander folgenden Lotterienummern jedes Übersteigen einer Nummer durch die folgende mit +, jedes Herabsinken der folgenden unter die vorige mit - bezeichnen, so finden wir beim Verfolg durch eine große Zahl Nummern (abgesehen von unausgeglichenen Zufälligkeiten) die Zahl der Wechsel doppelt so groß als die der Folgen; tun wir aber eben so mit einer entsprechenden Bezeichnung der aufeinander folgenden meteorologischen Tageswerte, so bleibt die Zahl der Wechsel weit hinter der doppelten Zahl der Folgen zurück, zweiter Beweis, daß das Steigen und Fallen der meteorologischen Werte von Tag zu Tag nicht den reinen Zufallsgesetzen gehorcht. Man vervollständigt und verschärft diese Untersuchung, die ich für jetzt nur andeute, um in einem späteren Kapitel darauf zurückzukommen, dadurch, daß man, um auch die Abweichungen von jenen Gesetzen des reinen Zufalls, welche streng nur für unendliches m gelten, durch unausgeglichene Zufälligkeiten zu berücksichtigen, auch die von der Endlichkeit des m abhängigen wahrscheinlichen und mittleren Abweichungen von der Aussage der Gesetze bestimmt, wofür sich in der Tat Formeln aufstellen lassen.

    Aus einer eingehenden Untersuchung hat sich mir nun ergeben 4), daß, während die meteorologischen Werte aufeinander folgender Tage desselben Monates die angegebenen Merkmale der Abhängigkeit in eminentem Grade zeigen, selbst die Monatsabweichungen aufeinander folgender Jahre derselben nicht ganz entzogen sind, wenn schon sie so schwach und wenig entschieden zeigen, um bei Benutzung derselben keine erhebliche Störung der Zufallsgesetze besorgen zu dürfen; und es verdient aber dieser Gegenstand unstreitig eine noch eingehendere und ausgedehntere Untersuchung seitens Fachmeteorologen mit Hilfe jener Kriterien im Interesse der Meteorologie selbst, als ich ihm hier habe zu Teil werden lassen, wo es nur in dem Interesse geschah, zu ermitteln, welcherlei K.-G. sich überhaupt zur Prüfung und Anwendung der reinen Zufallsgesetze eignen.
 

    4 ) [Hierzu werden im XXIII. Kap. Belege gegeben.]
 

    Inzwischen ist wichtig zu bemerken, daß die nach Vorigem ausgeschlossen scheinende Möglichkeit, die Zufallsgesetze auf meteorologische Werte, welche eine Abhängigkeit der genannten Art von einander zeigen, anzuwenden, sich für den Fall wieder herstellen könnte, daß bei sehr großem m die Abhängigkeitsverhältnisse selbst zufällig wechseln.

    Stellen wir uns zur Erläuterung hiervon eine Urne mit unendlich viel weißen und schwarzen Kugeln vor, welche mit Nummern, bezeichnet sind, die den Abweichungsgrößen von einem gegebenen Hauptwerte entsprechen, und zwar so, daß die Zahl des Vorkommens von jeder dieser Art Kugeln der Zahl des Vorkommens der entsprechenden Abweichungswerte, wie sie für reine Zufallsgesetze bestehen, entspricht. Also im Falle symmetrischer Wahrscheinlichkeit sei das GAUSS'sche Gesetz bezüglich Abweichungen vom arithmetischen Mittel, im Falle asymmetrischer Wahrscheinlichkeit unser später zu besprechendes allgemeineres Gesetz auf diese Weise repräsentiert; wobei durch weiße Kugeln positive, durch schwarze Kugeln negative Abweichungen vorgestellt werden. Geschehen nun recht viele Züge nach Zufall aus dieser Urne, so werden die gezogenen Kugeln in ihren Verhältnissen das betreffende Gesetz, abgesehen von den, wegen der immer nur endlichen Zahl der Züge noch übrig bleibenden, unausgeglichenen Zufälligkeiten, richtig repräsentieren. Aber dasselbe wird auch noch der Fall sein, wenn zwei, drei oder mehr Kugeln, welche einander in ihren Werten nahestehen, sei es nach einer bestimmten Regel oder ohne solche, zusammengeklebt sind, so daß man sie nur zusammen herausziehen kann; nur wird eine größere Zahl der Züge, ein größeres m, dazu gehören, um eine gleich gute Befriedigung der betreffenden Gesetze zu erlangen, als es bei losen Kugeln der Fall ist.

    Natürlich kann die Frage, ob es sich mit den meteorologischen Tageswerten nach Analogie hiervon verhält, nicht nach dieser Analogie als abgemacht angesehen werden, welche bloß zeigt, daß es sich möglicherweise so verhalten könnte. Doch fügt sich nicht nur das QUETELET'sche Beispiel (Lettres p. 78) mit m = 310 (in Wirklichkeit vielmehr wegen Fehlens eines Beobachtungstages 309) bei näherer Untersuchung durch die Verteilungsweise seiner z ganz gut einer solchen Voraussetzung, sondern auch thermische und barometrische Beispiele mit weit größerem m, die ich selbst in Untersuchung gezogen (vergl. Kap. XXVII), sprechen für dieselbe, so daß sie mindestens mit größter Wahrscheinlichkeit als gültig angesehen werden kann, was nicht nur für unsere Lehre, sondern auch für die Meteorologie von Interesse sein dürfte. QUETELET selbst ist auf die Frage nicht eingegangen.

    §21. Übrigens ist sehr erwünscht, daß doch ein meteorologisches Beispiel zu Gebote stehe, in welchem sich das Vorkommen zahlreicher Einzelfälle mit fehlender Abhängigkeit der sukzessiven Fälle von einander verbindet. In der Bibliothèque universelle de Genève (Archives des sciences physiques et naturelles) findet sich in jedem Monatshefte eine meteorologische Tabelle für Genf 5), worin unter anderen Kolumnen, welche für Thermometer, Barometer u. s. w. gelten, auch eine Kolumne mit der Überschrift; "Eau tombée dans les 24 heures" gegeben ist, welche für jeden stattgehabten Regentag des betreffenden Monates im betreffenden Jahre die Höhe des gefallenen Wassers in Millimetern angibt. Nun folgen allerdings gemeinhin mehrere nasse wie trockene Tage hinter einander, aber – und das ist es, worauf es uns ankommt, und wovon das Analoge nicht bei den aufeinander folgenden thermischen oder barometrischen Tageswerten der Fall ist, – die im Regenmesser aufgefangenen Regenhöhen auf einander folgender Tage verraten keine Größenabhängigkeit von einander. In der Tat sieht man schon beim oberflächlichsten Blick die Regenhöhen der betreffenden Kolumne auf das Unregelmäßigste wechseln und nicht selten auf die gewaltige Regenhöhe eines Tages eine ganz niedrige des nächsten Tages oder umgekehrt folgen. Entscheidend aber in betreffender Hinsicht sind unsere obigen zwei Kriterien; und es ist bemerkenswert, welch andere Resultate sie in Bezug auf die in vorigem Sinne verstandenen täglichen Regenhöhen als auf die thermischen und barometrischen Tageswerte geben, wozu man später (Kap. XXIII) Belege finden wird.
 

    5 ) Eine andere, ganz entsprechend eingerichtete Tabelle für die meteorologische Station auf dem St. Bernhard.
 

    Ich habe mich demgemäß die Mühe nicht verdrießen lassen, die in der Genfer Zeitschrift enthaltenen Data für die Genfer Regenhöhen aus sämtlichen Jahrgängen, durch welche sie reichen, auszuziehen, und habe nach den 12 Monaten 12 Abteilungen daraus gebildet, deren jede einen besonders zu behandelnden K.-G. darstellt. Darin sind z. B. als Exemplare a des Januar nicht nur alle Regenhöhen (unstreitig meist aus geschmolzenem Schnee), welche in einem Januarmonat vorgekommen sind, sondern welche in den Januarmonaten aller Jahre, durch welche die Regenhöhen verfolgt sind, stattgefunden haben, zusammengenommen, und hierdurch wird für jeden Monat ein sehr beträchtliches m erhalten. Nun ließ sich freilich besorgen, daß diese Mühe für unseren Zweck vergeblich war, weil sich ja gar nicht a priori behaupten ließ, daß die Regenhöhen überhaupt sich denselben Verteilungsgesetzen fügen wie Rekrutenmaße, Schädelmaße u. dgl.; aber im Gegenteil hat sie sich dadurch gelohnt, daß die Regenhöhen mit den Dimensionen der Galleriegemälde bisher das einzige Material liefern, woran sich unser logarithmisches Verteilungsgesetz durchschlagend bewähren ließ, indem sie mit einer ungeheueren Asymmetrie, welche die Hauptwerte weit auseinander fallen macht, zugleich im Verhältnisse zu den Hauptwerten sehr starke mittlere Abweichungen bieten, wodurch sie sich der Anwendbarkeit der arithmetischen Behandlungsweise entziehen (s. Kap. XXI, sowie XXVI und XXVII). Und unstreitig hat es sein besonderes Interesse, daß so verschiedene Dinge wie Gemäldedimensionen und Regenhöhen sich so bestimmten und eigentümlichen Verteilungsgesetzen, als wir aufzustellen haben werden, gemeinsam unterordnen.

    Sehr möglich übrigens gibt es noch einen anderen Fall meteorologischer Tageswerte von entsprechender Sukzessionsunabhängigkeit, um diesen kurzen Ausdruck zu gebrauchen, als die täglichen Regenhöhen zeigen, auf den um so mehr nötig ist, etwas näher einzugehen, als er unter die empirischen Unterlagen unserer Untersuchung mitfällt und von QUETELET selbst zu den seinigen in einer meines Erachtens freilich nicht triftigen Weise zugezogen ist, in welcher Beziehung mehrfach von mir darauf zurückzukommen sein wird. Das sind die sog. Variations diurnes von QUETELET, wovon QUETELET in seinen Lettres p. 174 fg., mit Tabellen p. 408 bis 411 handelt, indes ich selbst in dem Kap. XXVII näher darauf zu sprechen komme; hier aber bloß die Natur derselben vorläufig feststelle und mit Bezug auf die fragliche Unabhängigkeit ins Auge fasse.

    Es ist oben gesagt worden, daß QUETELET die Temperatur aller Tage jedes Monates als Mittel zwischen Maximum- und Minimumtemperatur jedes Tages (für Brüssel) festgestellt und dies durch 10 Jahre fortgeführt hat. Die Abweichung zwischen beiden Temperaturen, als deren Mittel die Tagestemperatur gilt, ist nun das, was QUETELET "Variation diurne" (tägliche Variation) nennt. Dabei muß man sich wohl vergegenwärtigen, daß diese Abweichung der beiden Tagesextreme von einander groß oder klein bei derselben Mitteltemperatur dazwischen, also derselben Tagestemperatur, sein kann, daß mithin die Sukzessionsabhängigkeit, welche die Tagestemperaturen zeigen, sich gar nicht notwendig auf die Variations diurnes zu erstrecken braucht. In der Tat kann dieselbe Tagestemperatur, z. B. von 10°, als Mittel aus 9,5° und 10,5°, aus 8° und 12°, aus 5° und 15° hervorgehen, was Variationen resp. von 1°, 4°, 10° gibt; ja, wenn an einem Tage die Temperatur ganz konstant bliebe, so könnte sie noch so hoch oder niedrig sein, und die Variation würde doch null sein. Wie nun QUETELET die Temperatur der Tage jedes Monates durch 10 Jahre verfolgt hat, die man als Exemplare eines K.-G. behandeln kann, so die zugehörigen Variations diurnes, worin man Exemplare eines anderen K.- G. sehen kann. Zwar hat QUETELET die Variations diurnes nicht für alle Tage jedes Monates spezialisiert, was Tabellen von gewaltiger Ausdehnung erfordert haben würde, ohne die Möglichkeit der übersichtlichen Zusammenfassung zu gewähren, aber er hat p. 410, 411 Tabellen gegeben, worin für jeden Monat angegeben ist, wie oft während 10 Jahren die Variation diurne zwischen 0° und 1°, zwischen 1° und 2°, zwischen 2° und 3° u. s. w. betragen hat, kurz reduzierte Intervalltafeln im Sinne unseres späteren (VIII) Kapitels.

    Wenn nun, wie oben bemerkt, die Variations diurnes ihrer Größe nach wesentlich unabhängig von der Größe der zwischen ihnen liegenden Tagestemperaturen erscheinen, mithin die Sukzessionsabhängigkeit derselben nicht notwendig zu teilen brauchen, so scheint auch einer solchen Abhängigkeit zu widersprechen, daß die Tabellen der monatlichen Variations diurnes bei einem m, was für die einzelnen Monate zwischen 282 (Februar) und 309 bis 310 (Januar und August) schwankt, einen so regelmäßigen Gang und eine so gute Übereinstimmung mit den sonst gültigen Gesetzen asymmetrischer Verteilung zeigen, als man bei vorhandener Sukzessionsabhängigkeit kaum erwarten möchte; indessen zeigt die von QUETELET p. 78 gegebene Tabelle der Tagestemperaturen des Juli, verglichen mit der zugehörigen Tabelle der Variations diurnes p. 411, daß der Gang der z in beiden Tabellen ähnlich und gleich regelmäßig ist, so daß man auch ohne Annahme der betreffenden Unabhängigkeit schon nach dem erst besprochenen Prinzip diese Tabelle würde als brauchbar in dem Sinne ansehen können, wie es von uns geschehen wird.

    § 22. Hiernach noch folgende allgemeine Bemerkungen:

    Im allgemeinen werde ich Punkte, wodurch sich K.-G., selbst bei hinreichend großem m, also abgesehen von unausgeglichenen Zufälligkeiten, der Bewährung unserer Gesetze entziehen können, als Ungehörigkeiten oder Abnormitäten, Gegenstände aber, welche davon frei sind, als einwurfsfreie bezeichnen. Die Abnormitäten sind, wie man sieht, verschiedener Art und können die Gültigkeit der Gesetze in sehr verschiedener Hinsicht und sehr verschiedenem Grade beeinträchtigen. Es kann zu den allgemeinen Aufgaben der Kollektivmaßlehre gerechnet werden, den Einfluß dieser Abnormitäten festzustellen, was teils theoretisch mit Rücksicht auf die an den fehlerfreien Gegenständen erkannten Verteilungsgesetze, teils empirisch geschehen kann, und zwar letzteres auf einem doppelten Wege. Einmal kann man den Erfolg der Abnormitäten an den abnormen Beispielen selbst, welche die Wirklichkeit bietet, verfolgen; zweitens, und dies scheint mir der zugleich fruchtbarere und zur Kontrolle des ersten Weges selbst mit zuzuziehende Weg, man kann künstlich Verteilungstafeln mit gegebenen Elementen konstruieren, welche den fehlerlosen Verteilungsgesetzen genau entsprechen, dann diese oder jene Abnormität daran anbringen und den Erfolg auf die Werte der Elemente und deren Verhältnisse daraus entnehmen.

    Hier liegt noch ein Feld der Untersuchung für andere vor, da ich dasselbe über der schon so weitschichtigen Aufgabe, die Verhältnisse der K.-G. unter der Voraussetzung der Fehlerlosigkeit festzustellen, keineswegs hinreichend erledigt habe.

    In jeder Hinsicht vollkommen fehlerfreie Gegenstände mit großem m sind bei der Mannigfaltigkeit möglicher Fehler wohl kaum zu beschaffen, und es sind daher bei den Gegenständen, welche empirischerseits zur Feststellung oder Bewährung der fundamentalen Gesetze der K.-G. dienen sollen, außer den Abweichungen von den idealen gesetzlichen Verteilungsverhältnissen wegen Endlichkeit des m und Größe des i noch Abweichungen wegen mangelnder Erfüllung der Requisiten oder kurz wegen Fehlerhaftigkeit insoweit zuzulassen, als sie sich in hinreichend engen Grenzen halten, um nicht gegen die Gültigkeit der aufgestellten Fundamentalgesetze selbst Bedenken zu erwecken, worüber freilich dem subjektiven Ermessen immer ein gewisser Spielraum bleibt. Bestimmungen und Verhältnisse, die sowohl den Abweichungen wegen der Endlichkeit des m als wegen Größe des i, als wegen mangelnder Erfüllung der Requisiten entzogen sind, nenne ich hiernach, außer dem schon gebrauchten Ausdrucke fundamentale, auch normale oder ideale, sofern sie in der Wirklichkeit nur in Annäherungen vorkommen.

    Übrigens ersieht man aus Vorigem, worin für die Kollektivmaßlehre, trotzdem daß sie sich aus den im Vorworte angegebenen Gesichtspunkten zu den exakten Lehren rechnen kann, die Schwierigkeit liegt, es in ihren Anwendungen zu ganz sicheren Resultaten zu bringen. Es sind andere Punkte, als für die Physiologie und Psychophysik in dieser Hinsicht bestehen; aber sie haben einen ähnlichen Erfolg. Immerhin bleibt es ein Vorzug aller dieser Lehren als exakter, einmal die Sicherheit im einzelnen doch so weit als möglich zu treiben, zweitens zu allgemeinen Gesetzlichkeiten zu führen.

    § 23. Die bisherigen Bemerkungen betrafen Requisiten, welche die in Untersuchung zu nehmenden K.-G. selbst zu erfüllen haben; aber es gibt auch Requisiten, welche die Untersuchung zu erfüllen hat. Die Verteilungstafeln können in mehr oder weniger zweckmäßiger oder brauchbarer Form aufgestellt werden, worüber in Kap. VII und VIII Näheres gesagt ist. Die unausbleiblichen Fehler, welche bei Messung der Exemplare begangen werden; müssen unerheblich genug sein, um nicht störend in die Bewährung der Gesetze einzugreifen, und die Messungsgenauigkeit wird daher im allgemeinen so weit zu treiben sein, daß die Messungsfehler gegen die Kollektivabweichungen vernachlässigt werden können. Bei den Messungen pflegen die auf dem Maßstabe angegebenen Abteilungen noch durch Schätzung untergeteilt zu werden; und hierbei ist sehr gewöhnlich, daß die ganzen und halben Abteilungen bevorzugt werden, was ich den Fehler der ungleichförmigen Schätzung nenne, und wovon ich Beispiele bez. der Rekrutenmaße und Schädelmaße in Kap. VII anführe. Solche Fehler können für die genaue Bestimmung der Elemente nachteilig sein, und es gilt daher dagegen auf der Hut zu sein und, wo solche vorliegen, sie durch eine angemessene Reduktion möglichst unschädlich zu machen, worüber künftig das Nähere. Bei der Menge der zu nehmenden Maße sind Versehen in der Maßnahme selbst oder deren Aufzeichnung nur zu leicht möglich, und es gibt vielleicht kein anderes Mittel, sie sicher zu vermeiden, als die Messungen zweimal unabhängig von einander vorzunehmen und dadurch zu kontrollieren, wie von mir bei Messung der Roggenähren geschehen; da aber die mühselige Arbeit dadurch verdoppelt wird, wird man sich schwerlich überall dazu verstehen. Noch schwerer ist es Rechenversehen bei Verwertung einer großen Menge von Maßen für Bestimmung der Elemente und Bewährung der Gesetze zu vermeiden; und mindestens bezüglich jedes auffälligen oder wichtigen Resultates ist eine Kontrolle durch Wiederholung der Rechnung nicht zu ersparen.

    Im allgemeinen gibt es zur Bestimmung der Elemente sichere und unsichere Wege und natürlich sind die ersten an sich vorzuziehen; da aber überhaupt nur Approximationen an die idealen Werte der Elemente erreichbar sind, so kann es sein, daß ein kleiner Vorteil in dieser Hinsicht nicht gegen die Erleichterung in Betracht kommt, welche ein etwas minder sicherer Weg gewährt, und so kann aus praktischem Gesichtspunkte ein solcher doch vorzuziehen sein, wenn er genügt, ein Resultat, was man im Auge hat, noch mit zufriedenstellender Sicherheit zu konstatieren. Astronomische Genauigkeit und Sicherheit läßt sich nun einmal in diesem Falle nicht erzielen, und es kann sein, daß durch den vergeblichen Anspruch, eine solche doch erzielen zu wollen, eine Untersuchung überhaupt undurchführbar wird.